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2019年山西省中考数学试题(word版 解析版)_中考_初中教育_教育专区

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2019年山西省中考数学试题(word版 解析版)_中考_初中教育_教育专区。2019 年山西省中考数学试题 第 I 卷 选择题(共 30 分) 满分:120 分 时间:120 分钟 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.-3 的绝对值


2019 年山西省中考数学试题 第 I 卷 选择题(共 30 分) 满分:120 分 时间:120 分钟 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.-3 的绝对值是( ) A.-3 B.3 C. ? 1 1 D. 3 3 【解析】| -3|? 3 ,故选 B 2.下列运算正确的是( ) A. 2a ? 3a ? 5a2 B. (a ? 2b)2 ? a2 ? 4b2 C. a2 ? a3 ? a6 D. (?ab2 )3 ? ?a3b6 【解析】A.2a+3a=5a,故 A 错误;B. (a ? 2b)2 ? a2 ? 4ab ? 4b2 ,故 B 错误;C. a2 ? a3 ? a5 , 故 C 错误;D. (?ab2 )3 ? ?a3b6 ,故 D 正确,故选 D 3.某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一中展开图,那么在原正方体中,与“点” 字所在面相对的面上的汉字是( ) A.青 B.春 C.梦 D.想 【解析】这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“点”与面“春”相对,面“亮”与 面“想”相对,而面“青”与面“梦”相对.故选 B 4.下列二次根式是最简二次根式的是( ) 1 A. 2 12 B. 7 C. 8 D. 3 【解析】A. 1? 2 2 2 ,本选项不合题意;B. 21 7 ? 2 21 7 ,本选项不合题意; C. 8 ? 2 2 不合题意;D. 3 是最简二次根式,符合题意,故选 D 5.如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠A=30°,直线 a∥b,顶点 C 在直线 b 上,直线 a 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,若∠1=145°,则∠2 的度数是( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 【解析】∵AB=AC 且∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ ADE 中:∠1=∠A+∠3,∴∠3=115° ∵a∥b,∴∠3=∠2+∠ACB,∴∠2=40° 6.不等式组 ?x ??2 ?1 ? ? 2x 3 ? 4 的解集是( ) A. x ? 4 B. x ? ?1 C. ?1? x ? 4 D. x ? ?1 【解析】 x ?1 ? 3, x ? 4 ; 2 ? 2x ? 4,?2x ? 2, x ? ?1;∴ x ? 4 ,故选 A 7.五台山景区空气清爽,景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客 12 万人次,再创历史新 高.五台山景区门票价格旺季 168 元/人.以此计算,“五一”小长假期间五台山景区进山门票总 收入用科学记数法表示为( ) A.2.016×108 元 B.0.2016×107 元 C.2.016×107 元 D.2016×104 元 【解析】120000×168=20160000=2.016×107,故选 C 8.一元二次方程 x2 ? 4x ?1 ? 0 配方后可化为( ) A. (x ? 2)2 ? 3 B. (x ? 2)2 ? 5 C. (x ? 2)2 ? 3 D. (x ? 2)2 ? 5 【解析】 x2 ? 4x ?1 ? 0, (x2 ? 4x ? 4) ? 4 ?1 ? 0, (x ? 2)2 ? 5 ,故选 D 9.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2 所示,此钢拱(近似看成二次函数 的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点,拱高为 78 米 (即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米),跨径为 90 米(即 AB=90 米),以最高点 O 为坐标原 点,以平行于 AB 的直线为 x 轴简历平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( ) A. y ? 26 x2 675 B. y ? ? 26 x2 675 C. y ? 13 x2 D. y ? ? 13 x2 1350 1350 图1 图2 【解析】设抛物线的解析式为 y ? ax2, 将 B(45,?78) 代入得: ? 78 ? a ? 452,?a ? ? 26 675 ∴抛物线解析式为: y ? ? 26 x2 ,故选 B 675 10.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,AB= 2 3 ,BC=2,以 AB 的中点为圆心,OA 的长 为半径作半圆交 AC 于点 D,则图中阴影部分的面积为( ) 5 A. 3 ?? 42 5 B. 3 ?? 42 C. 2 3 ? ? D. 4 3 ? ? 2 【解析】作 DE⊥AB 于点 E,连接 OD,在 Rt△ ABC 中:tan∠CAB= BC ? 2 ? 3 , AB 2 3 3 ∴∠CAB=30°,∠BOD=2∠CAB=60°. 在 Rt△ ODE 中:OE= 1 OD= 3 ,DE= 3 OE= 3 . 2 2 2 S 阴影=S△ ABC-S△ AOD-S 扇形 BOD= 1 2 ? AB? BC ? 1 2 ? OD ? DE ? 60? 360? ?? ? OB2 = 1 ? 2 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 60? ?? ? ( 3)2 ? 5 3 ? ? ,故选 A 2 2 2 360 ? 42 第 II 卷 非选择题(90 分) 二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分) 11.化简 2x ? x 的结果是 . x ?1 1? x 【解析】 2x ? x ? 2x ? x ? 3x ,故答案为 3x x ?1 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 12.要表示一个家庭一年用于“教育”,服装,“食品”,“其他”这四项的支出各占家庭本年总支 出的百分比,“从扇形统计图”,“条形统计图”,“折线统计图”中选择一种统计图,最适合的 统计是 . 【解析】根据条形统计图、折线统计图,扇形统计图的特点和作用,要表示一个家庭一年用 于“教育”,“服装”,“食品”,“其他”这四项的支出各站家庭本年总支出的百分比应选用扇形 统计图,故答案为“扇形统计图” 13.如图,在一块长 12m,宽 8m 的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条 道路各与矩形的一条平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积 77m?,设道路的宽为 x m,则根据题意,可列方程为 . 【解析】由题意可知: (12 ? x)(8 ? x) ? 77 ,故答案为 (12 ? x)(8 ? x) ? 77 14.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 A 坐标为(-4,0),点 D 的坐标为(-1,4),反比例函数 y ? k (x ? 0) 的图象恰好经过点 C, x 则 k 的值为 . 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,则 AD=5,∵四边形 ABCD 为菱形,∴CD=5 ∴C(4,4),将 C 代入 y ? k 得: 4 ? k ,∴ k ?16 x 4 15.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点 D 为△ ABC 内一点,∠BAD=15°, AD=6cm,连接 BD,将△ ABD 绕点 A 逆时针方向旋转,使 AB 与 AC 重合,点 D 的对应点 E,连接 DE,DE 交 AC 于点 F,则 CF 的长为 cm. 【解析】过点 A 作 AG⊥DE 于点 G,由旋转可知:AD=AE,∠DAE=90°,∠CAE=∠BAD=15° ∴∠AED=45°;在△ AEF 中:∠AFD=∠AED+∠CAE=60° 在 Rt△ ADG 中:AG=DG= AD ? 3 2 2 在 Rt△ AFG 中: GF ? AG ? 6, AF ? 2FG ? 2 6 3 ∴ CF ? AC ? AF ? 10 ? 2 6 故答案为:10 ? 2 6 三.解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16.(本题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) (1)计算: 27 ? (? 1)?2 ? 3 tan 60? ? (? ? 2)0 2 【解析】原式= 3 3 ? 4 ? 3 3 ?1 ? 5 ?3x ? 2 y ? ?8① (2)解方程组: ? ?x ? 2 y ? 0② 【解析】(2)①+②得: 4x ? ?8,解得 x ? ?2 ,将 x ? ?2 代入②得: ? 2 ? 2 y ? 0 ,解得 y ? 1∴原方程组的解为 ?x ? ? y ? ? ?2 1 17.(本题 7 分) 已知:如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠H.求证:BC=DH 【解析】证明:∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,即 AB=DE. ∵AC∥EF,∴∠A=∠E 在△ ABC 和△ EDH 中 ∠C=∠H,∠A=∠E,AB=DE.∴△ABC≌△EDH,∴BC=DH 18.(本题 9 分)中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于 2019 年 8 月在山西 举行,太原市作为主赛区,将承担多项赛事,现正从某高校的甲、乙两班分别招募 10 人作 为颁奖礼仪志愿者,同学们踊跃报名,甲、乙两班各报了 20 人,现已对他们进行了基本素 质测评,满分 10 分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用 10 人,对这次基本素质测评 中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图. 请解答下列问题: (1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为 7 分,请你分别判断小华,小丽能否 被录用(只写判断结果,不必写理由). (2)请你对甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者的成绩作出评价(从“众数”,“中位数”,或 “平均数”中的一个方面评价即可). (3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的 两个场馆进行颁奖礼仪服务,四个场馆分别为:太原学院足球场,太原市沙滩排球场,山西 省射击射箭训练基地,太原水上运动中心,这四个场馆分别用字母 A,B,C,D 的四张卡 片(除字母外,其余都相同)背面朝上,洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回), 再从中随机抽取一张,请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B” 的概率. 【解析】18.(1)小华:不能被录用,小丽:能被录用 (2)从众数来看:甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者成绩的众数分别为 8 分,10 分,说 明甲班被录用的 10 名志愿者中 8 分最多乙班被录用的 10 名志愿者中 10 分最多 从中位数来看:甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者成绩的中位数分别为 9 分,8.5 分,说明 甲班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数 从平均数来看:甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者成绩的平均数分别为 8.9 分,8.7 分,说 明甲班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数 (从“众数”,“中位数”或“平均数”中的一方面即可) (3)画树状图如下: 由树状图可知一共有 12 种可能出现的结果,且每种结果出现的可能性相同,其中抽到“A” 和“B”的结果有 2 种.∴ P ? 2 ? 1 12 6 19.(本题 9 分)某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡 200 元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游 泳再付费 30 元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费 40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次, 选择方式一的总费用为 y1(元),选择方式二的总费用为 y2(元). (1)请分别写出 y1,y2 与 x 之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时,选择方式一比方式二省钱. 【解析】(1) y1 ? 30 x ? 200; y2 ? 40 x (2)由 y1 ? y2 得: 30x ? 200 ? 40x 解得: x ? 20 ,∴当 x ? 20 时选择方式一比方式 2 省钱 20.(本题 9 分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动,他们制订了测 量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测 点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在 测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量 结果,测量数据如下表(不完整) 任务一:两次测量 A,B 之间的距离的平均值是 m. 任务二:根据以上测量结果,请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆 GH 的高度. ( 参 考 数 据 : sin25.7°≈0.43 , cos25.7°≈0.90 , tan25.7°≈0.48 , sin31°≈0.52 , cos31°≈0.86 , tan31°≈0.60) 任务三:该“综合与实践”小组在定制方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的 高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可). 【解析】20.解:任务一:由题意可得:四边形 ACDB,四边形 ADEH 都是矩形 ∴EH=AC=1.5,CD=AB=5.5 任务二:设 EC=x m 在 Rt△ DEG 中:∠DEC=90°,∠GDE=31° ∵tan31°= EG ,∴ DE ? x . DE tan 31? 在 Rt△ CEG 中:∠CEG=90°,∠GCE=25.7°. ∵tan25.7°= EG ,CE= x CE tan 25.7? ∵CD=CE-DE,∴ x ? x ? 5.5 ,∴ x ?13.2 tan 25.7? tan 31? ∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7 答:旗杆 GH 的高度为 14.7m 任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. 21.(8 分)阅读以下材料,并按要求完成相应地任务: 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要 常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ ABC 中,R 和 r 分别为外接圆和内 切圆的半径,O 和 I 分别为其外心和内心,则 OI 2 ? R2 ? 2Rr .下面是该定理的证明过程(部 分): 延长 AI 交⊙O 于点 D,过点 I 作⊙O 的直径 MN,连接 DM,AN. ∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等), ∴△MDI∽△ANI.∴ IM ? ID ,∴ IA? ID ? IM ? IN ① IA IN 如图②,在图 1(隐去 MD,AN)的基础上作⊙O 的直径 DE,连接 BE,BD,BI,IF ∵DE 是⊙O 的直径,∴∠DBE=90°. ∵⊙I 与 AB 相切于点 F,∴∠AFI=90°, ∴∠DBE=∠IFA. ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等), ∴△AIF∽△EDB. ∴ IA ? IF ,∴ IA? BD ? DE? IF ② DE BD 任务:(1)观察发现: IM ? R ? d , IN ? (用含 R,d 的代数式表示); (2)请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由. (3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成 该定理证明的剩余部分; (4)应用:若△ ABC 的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则△ ABC 的外心与 内心之间的距离为 cm. 【解析】.解:(1)R-d (2)BD=ID 理由如下:∵点 I 是△ ABC 的内心 ∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI ∴∠BID=∠DBI,∴BD=ID (3)由(2)知:BD=ID ∴IA·ID=DE·IF 又∵DE·IF=IM·IN,∴ 2Rr ? (R ? d)(R ? d) ,∴ R2 ? d 2 ? 2Rr ∴ d 2 ? R2 ? 2Rr (1) d 2 ? R2 ? 2Rr ? 52 ? 2?5? 2 ? 5 ,∴ d ? 5 22.(本小题 11 分)综合与实践 动手操作: 第一步:如图 1,正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在直线折叠,展开铺平.在沿过点 C 的 直线折叠,使点 B,点 D 都落在对角线 AC 上.此时,点 B 与点 D 重合,记为点 N,且点 E, 点 N,点 F 三点在同一直线上,折痕分别为 CE,CF.如图 2. 第二步:再沿 AC 所在的直线折叠,△ ACE 与△ ACF 重合,得到图 3 第三步:在图 3 的基础上继续折叠,使点 C 与点 F 重合,如图 4,展开铺平,连接 EF,FG, GM,ME,如图 5,图中的虚线为折痕. 问题解决: (1)在图 5 中,∠BEC 的度数是 , AE 的值是 ; BE (2)在图 5 中,请判断四边形 EMGF 的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图中 5 中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形 (正方形除外),并写出这个菱形: . 【解析】22.解:(1)67.5° 2 (2)四边形 EMGF 是矩形 理由如下:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠B=∠BCD=∠D=90° 由折叠可知:∠1=∠2=∠3=∠4,CM=CG, ∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5° 由折叠可知:MH、GH 分别垂直平分 EC,FC, ∴MC=ME,GC=GF ∴∠5=∠1=22.5°,∠6=∠4=22.5°,∴∠MEF∠GFE=90° ∵∠MCG=90°,CM=CG.∴∠CMG=45° 又∵∠BME=∠1+∠5=45°,∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90° ∴四边形 EMGF 是矩形. (3)菱形 FGCH 或菱形 EMCH(一个即可),如下图所示 23.(本题 13 分)综合与探究 如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 6 经过点 A(-2,0),B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是 抛物线上一个动点,设点 D 的横坐标为 m(1 ? m ? 4) .连接 AC,BC,DB,DC. (2)求抛物线的函数表达式; (3)△ BCD 的面积等于△ AOC 的面积的 3 时,求 m 的值; 4 (4)在(2)的条件下,若点 M 是 x 轴上的一个动点,点 N 是抛物线上一动点,试判断是 否存在这样的点 M,使得以点 B,D,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接 写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】.解:(1)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 A(-2,0),B(4,0), ∴ ?4a ? 2b ? 6 ? 0 ??16a ? 4b ? 6 ? 0 ,解得 ???a ? ???b ? ? ? 3 2 3 4 ,∴抛物线的函数表达式为 y ? ? 3 4 x2 ? 3 2 x ? 6 (2)作直线 DE⊥ x 轴于点 E,交 BC 于点 G,作 CF⊥DE,垂足为 F. ∵点 A 的坐标为(-2,0),∴OA=2 由 x ? 0 ,得 y ? 6,∴点 C 的坐标为(0,6),∴OC=6 ∴S△ OAC= 1 2 ? OA ? OC ? 1 2 ?2?6 ? 6 ,∵S△ BCD= 3 4 S△ AOC= 3 4 ?6 ? 9 2 设直线 BC 的函数表达式为 y ? kx? n ,由 B,C 两点的坐标得 ?4k ? n ??n ? 6 ? 0 ,解得 ??k ? ??n ? ? ? 6 3 2 ∴直线 BC 的函数表达式为 y ? ? 3 x ? 6 . 2 ∴点 G 的坐标为 (m,? 3 m ? 6), ∴ DG ? ? 3 m2 ? 3 m ? 6 ? (? 3 m ? 6) ? ? 3 m2 ? 3m 2 42 2 4 ∵点 B 的坐标为(4,0),∴OB=4 S△ BCD=S△ CDG+S△ BDG= 1 ? DG ?CF ? 1 ? DG ? BE ? 1 ? DG(CF ? BE) ? 1 ? DG ? BO 2 2 2 2 = 1(? 3 m2 ? 3m)? 4 ? ? 3 m2 ? 6m 24 2 ∴ ? 3 2 m2 ? 6m ? 9 2 ,解得 m1 ? 1 (舍), m2 ? 3 ,∴ m 的值为 3 (3) M1(8,0),M2(0,0),M3( 14,0),M4(? 14,0) 如下图所示,以 BD 为边或者以 BD 为对角线进行平行四边形的构图 以 BD 为边进行构图,有 3 种情况,采用构造全等发进行求解. ∵D 点坐标为 (3, 15) 4 ,所以 N1 , N 2 的纵坐标为 15 4 ? 3 4 x2 ? 3 2 x ? 6 ? 15 4 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 (舍) 可得 N 2 (?1, 15 4 ),? M 2 (0,0) ∴ N3, N4 的纵坐标为 ? 15 4 时, ? 3 4 x2 ? 3 2 x ? 6 ? ? 15 4 , x1 ? 1? 14, x2 ? 1? 14 ∴ N3(1? 15 14,? 4 ),?M3( 14,0) , N4 (1? 15 14,? 4 ),?M4 (? 14,0) 以 BD 为对角线进行构图,有 1 种情况,采用中点坐标公式进行求解. ∵ N1 (?1, 15 4 ),? M1 (3 ? 4 ? (?1),15 4 ? 0 ? 15),? 4 M1 (8,0)
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