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pc蛋蛋28预测大神吧,专题2021届高考数学基本不等式突破性讲练(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区

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pc蛋蛋28预测大神吧,专题2021届高考数学基本不等式突破性讲练(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2021 届高考数学基本不等式突破性讲练 一、 考点传真: 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识点梳理 1.基本不等式: a+b ab≤


pc蛋蛋28预测大神吧2021 届高考数学基本不等式突破性讲练 一、 考点传真: 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识点梳理 1.基本不等式: a+b ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)其中a+2 b称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤??a+2 b??2(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x≥0,y≥0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是s42(简记:和定积最大). 三、例题: 例 1 .( 2019 天 津 卷 ) 设 x ? 0, y ? 0, x ? 2y ? 5 , 则 (x ? 1 ) (y2? 1的) 最 小 值 xy 为 . 【答案】 4 3 【解析】 x ? 0 , y ? 0, x ? 2 y ? 5, 则 ? x ?1??2y ?1? ? 2xy ? x ? 2y ?1 ? 2xy ? 6 ? 2 xy ? 6 ; xy xy xy xy 由基本不等式, 2 xy ? 6 …2 2 xy ? 6 ? 4 3 (当且仅当 2 xy ? 6 时,即 xy xy xy 第 1 页 共 10 页 xy ? 3 ,且 x ? 2 y ? 5 时,即 ?x ? ? y ? ? 3 1 或 ?? ? ?? x y ? ? 2 3 2 时,等号成立). 故 ? x ?1??2 y ?1? 的最小值为 4 3 . xy 例 2. (2018 天津卷)已知 a , b ? R ,且 a ?3b ? 6 ?0 ,则 2a ? 1 8b 的最小值为 . 【答案】 1 4 【解析】由 a ?3b ? 6 ? 0 ,得 a ? 3b ? 6 , 所以 2a ?1 8b ? 23b?6 ? 1 23b ≥2 23b?6 ? 1 23b ? 2 ? 2?3 ? 1 , 4 当且仅当 23b?6 ? 1 23b ,即 b ?1时等号成立. 例 3.(2017 北京卷)已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1,则 x2 ? y2 的取值范围是_______. 【答案】[1 ,1] 2 【解析】由题意,u ? x2 ? y2 ? x2 ? (1? x)2 ? 2x2 ? 2x ?1 ? 2(x ? 1)2 ? 1 ,且 x ?[0,1] , 22 又 x?0 时, u ? x2 ? y2 ?1 , x?1 2 时, umin ? x2 ? y2 ? 1 2 ,当 x ?1 时, u ? x2 ? y2 ? 1 ,所以 x2 ? y2 取值范围为[ 1 ,1] . 2 例 4.(2017 天津卷)若 a,b ? R , ab ? 0 ,则 a4 ? 4b4 ?1 的最小值为___________. ab 【答案】4 【解析】 a4 ? 4b4 ?1≥ 4a2b2 ?1 ? 4ab ? 1 ≥ 4 , ab ab ab 当且仅当 a2 ? 2b2 ,且 ab ? 1 ,即 a2 ? 2 时取等号. 2 2 例 5. (2017 江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则 x 的值 是 . 第 2 页 共 10 页 【答案】30 【解析】总费用为 4x ? 600 ? 6 ? 4(x ? 900) ? 4? 2 900 ? 240 ,当且仅当 x ? 900 ,即 x ? 30 时 x x x 等号成立. 例 6. (2017 浙江卷)已知 a ?R ,函数 f (x) ?| x ? 4 ? a | ?a 在区间[1,4]上的最大值是 5, x 则 a 的取值范围是 . 【答案】 (??, 9] 2 【解析】∵ x ?[1, 4] ,∴ x ? 4 ?[4,5] x ①当 a≥5 时, f (x) ? a ? x ? 4 ? a ? 2a ? x ? 4 ≤ 2a ? 2 x ? 4 ? 2a ? 4 , x x x 所以 f (x) 的最大值 2a ? 4 ? 5 ,即 a ? 9 (舍去) 2 ②当 a ≤ 4时, f (x) ? x ? 4 ? a ? a ? x ? 4 ≤ 5 ,此时命题成立. x x ③当 4 ? a ? 5时, f (x)max ? max{| 4 ? a | ?a,| 5 ? a | ?a} ,则 ?| 4 ? a | ?a ≥| 5 ? ? | 4 ? a | ?a ? 5 ? a | ?a 或 | | 4 5 ? ? a a | | ?a ?a ?| ? 5 5 ? a | ?a , 解得 a ? 9 或 a ? 9 , 2 2 综上可得,实数 a 的取值范围是 (??, 9] . 2 例 7. (2013 山东卷)设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y2 ? z ? 0 .则当 xy 取得最大值时, z 2 ? 1 ? 2 的最大值为 xyz A.0 B.1 C. 9 4 D.3 【答案】C 【解析】由 x2-3xy+4y2-z=0 得 x2+4y2-3xy=z, z ? x2 ? 4 y2 ? 3 ? 2 x2 ? 4 y2 ? 3 ? 4xy ? 3 ? 1, xy xy xy xy 第 3 页 共 10 页 当且仅当 x2=4y2 即 x=2y 时, z 有最小值 1, xy 将 x=2y 代入原式得 z=2y2, 所以 x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y, 当 y=1 时有最大值 2.故选 C. 四、巩固练习: 1.若 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 【答案】A 【解析】 因为 x+y=18,所以 xy≤x+2 y=9,当且仅当 x=y=9 时,等号成立. 2.下列结论正确的是( ) A.当 x>0 且 x≠1,lg x+lg1x≥2 B.x2+1 1<1(x∈R) C.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x D.当 0<x≤2 时,x-1x无最大值 【答案】C 【解析】 对于 A,当 0<x<1 时,lg x<0,不等式不成立; 对于 B,当 x=0 时,有x2+1 1=1,不等式不成立; 对于 C,当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x 1 x· =2,当且仅当 x=1 时等号成立; x 对于 D,当 0<x≤2 时,y=x-1x单调递增,所以当 x=2 时,取得最大值,最大值为32. 3.设 a>0,则 9a+1a的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】 因为 a>0,所以 9a+1a≥2 得最小值 6.故选 C. 1 9a×a =6,当且仅当 9a=1a,即 a=13时,9a+1a取 4.若 x>0,y>0,且 2(x+y)=36,则 xy的最大值为( ) 第 4 页 共 10 页 A.9 B.18 C.36 D.81 【答案】A 【解析】由 2(x+y)=36,得 x+y=18,所以 xy≤x+2 y=9,当且仅当 x=y=9 时,等号成立. 5.已知 x>0,y>0,且 x+2y=2,则 xy () A.有最大值为 1 B.有最小值为 1 C.有最大值为12 D.有最小值为12 【答案】C 【解析】因为 x>0,y>0,x+2y=2, 所以 x+2y≥2 x·2y,即 2≥2 2xy,xy≤12, 当且仅当 x=2y,即 x=1,y=12时,等号成立. 所以 xy 有最大值,且最大值为12. 6.设 a>0,若关于 x 的不等式 x+x-a 1≥5 在(1,+∞)上恒成立,则 a 的最小值为( ) A.16 B.9 C.4 D.2 【答案】C 【解析】 在(1,+∞)上,x+x-a 1=(x-1)+x-a 1+1 ≥2 (x-1)×(x-a 1)+1=2 a+1(当且仅当 x=1+ a时取等号). 由题意知 2 a+1≥5.所以 a≥4. 7.若 a>0,b>0 且 2a+b=4,则a1b的最小值为( ) A.2 1 B.2 C.4 1 D.4 【答案】B 【解析】因为 a>0,b>0,故 2a+b≥2 2ab(当且仅当 2a=b 时取等号). 又因为 2a+b=4,∴2 2ab≤4?0<ab≤2, ∴a1b≥12,故a1b的最小值为12.故选 B. 8.若实数 a,b 满足1a+2b= ab,则 ab 的最小值为( ) 第 5 页 共 10 页 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【答案】C 【解析】 因为1a+2b= ab,所以 a>0,b>0, 由 ab=1a+2b≥2 1a·b2=2 a2b, 所以 ab≥2 2(当且仅当 b=2a 时取等号), 所以 ab 的最小值为 2 2. 9.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+1a,n=a+1b,则 m+n 的最小值是 () A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 由题意知 ab=1,∴m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4, 当且仅当 a=b=1 时取等号,故 m+n 的最小值为 4. 10.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为 800 元,若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为8x天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用 与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 【答案】B 【解析】 设每批生产产品 x 件,则每件产品的生产准备费用是80x0元,仓储费用是8x元,总 的费用是??80x0+8x??元,由基本不等式得80x0+8x≥2 80x0+8x=20,当且仅当80x0=8x,即 x=80 时取等号. 11.若实数 a,b 满足1a+2b= ab,则 ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【答案】C 【解析】 依题意知 a>0,b>0,则1a+2b≥2 a2b=2 2, ab 第 6 页 共 10 页 当且仅当1a=2b,即 b=2a 时,“=”成立. 因为1a+2b= ab,所以 2 ab≥ 2, ab 即 ab≥2 2(当且仅当 a=214,b=254时等号成立), 所以 ab 的最小值为 2 2. 12.设 a>b>0,则 a2+a1b+a 1 a-b 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 a2 + 1 ab + a 1 a-b = (a2 - ab) + 1 a2-ab + 1 ab + ab≥2 a2-ab · 1 a2-ab +2 a1b×ab=4,当且仅当 a2-ab=a2-1 ab且a1b=ab,即 a = 2,b= 22时取等号,故选 D. 13.已知 x<54,则 f(x)=4x-2+4x-1 5的最大值为______. 【答案】1 【解析】因为 x<54,所以 5-4x>0, 则 f(x)=4x-2+4x-1 5=-??5-4x+5-14x??+3 ≤-2 (5-4x)·5-14x+3=-2+3=1. 当且仅当 5-4x=5-14x,即 x=1 时,等号成立. 故 f(x)=4x-2+4x-1 5的最大值为 1. 14.在各项都为正数的等比数列{an}中,若 a2 018= 22,则a21017+a22019的最小值为________. 【答案】4 【解析】∵{an}为等比数列,∴a2 017·a2 019=a22 018=12. ∴a21017+a22019≥2 a2 2 017·a2 =2 019 4=4. 当且仅当a21017=a22019,即 a2 019=2a2 017 时,取得等号. 第 7 页 共 10 页 ∴a21017+a22019的最小值为 4. 15.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方 向.某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的 销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之 间满足函数关系式 x=3-t+2 1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元,产品每 1 万件 进货价格为 32 万元,若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体 验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】 37.5 【解析】由题意知 t=3-2 x-1(1<x<3),设该公司的月利润为 y 万元,则 y=??48+2tx??x-32x -3-t=16x-2t -3=16x-3-1 x+12-3=45.5-??16(3-x)+3-1 x??≤45.5-2 16=37.5, 当且仅当 x=141时取等号,即最大月利润为 37.5 万元. 16.已知函数 f(x)=x2+xa+x+1 11(a∈R),若对于任意的 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围 是________. 【答案】??-83,+∞?? 【解析】 对任意 x∈N*,f(x)≥3, 即x2+xa+x+1 11 ≥3 恒成立,即 a≥-??x+8x??+3. 设 g(x)=x+8x,x∈N*,则 g(x)=x+8x≥4 2, 当 x=2 2时等号成立,又 g(2)=6,g(3)=137, ∵g(2)>g(3),∴g(x)min=137.∴-??x+8x??+3≤-83, ∴a≥-83,故 a 的取值范围是??-83,+∞??. 17.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50≤x≤100(单位:千 米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油??2+3x620??升,司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 第 8 页 共 10 页 【解析】 (1)设所用时间为 t=13x0(h), y=13x0×2×??2+3x620??+14×13x0,x∈[50,100]. 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y=130x×18+2×361030x,x∈[50,100] (或 y=2 3x40+1183x,x∈[50,100]). (2)y=130x×18+2×361030x≥26 10, 当且仅当130x×18=2×361030x, 即 x=18 10时等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 18.某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x), 当年产量不足 80 千件时,C(x)=13x2+10x(万元).当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ 10 x000-1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售 完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式. (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解析】 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元,依 题意得: 当 0<x<80 时,L(x)=(0.05×1 000x)-??13x2+10x??-250=-13x2+40x-250. 当 x≥80 时,L(x)=(0.05×1 000x)-??51x+10 x000-1 450??-250=1 200-??x+10 x000??. ?-13x2+40x-250,0<x<80, ? 所以 L(x)= ?1 200-??x+10 x000??,x≥80. (2)当 0<x<80 时,L(x)=-13(x-60)2+950. 此时,当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 万元. 当 x≥80 时,L(x)=1 200-??x+10 x000??≤1 200-2 此时 x=10 x000, 即 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000 万元. x·10 x000=1 200-200=1 000. 第 9 页 共 10 页 由于 950<1 000, 所以当年产量为 100 千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为 1 000 万元. 第 10 页 共 10 页
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文档贡献者

唐国兴

高级教师

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