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中学趣味数学帕斯卡三角形与道路问题_数学_高中教育_教育专区

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中学趣味数学帕斯卡三角形与道路问题_数学_高中教育_教育专区。中学趣味数学帕斯卡三角形与道路问题 苏珊很为难.她步行去学校,路上老是遇到斯廷基.斯廷 基:嘿嘿,苏珊,我可以陪你一起走吗?苏珊:不!请走开. 苏珊心想:我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这


中学趣味数学帕斯卡三角形与道路问题 苏珊很为难.她步行去学校,路上老是遇到斯廷基.斯廷 基:嘿嘿,苏珊,我可以陪你一起走吗?苏珊:不!请走开. 苏珊心想:我有办法了.每天早上我走不同的路线去学校.这 样斯廷基就不知道在哪儿找到我了.这张地图表示苏珊的住 所和学校之间的所有街道.苏珊去学校时,走路的方向总是 朝南或朝东.她总共有多少条路线呢? 苏珊:我真想知道有多少条路线可走.让我想一想.要算出多 少条路线看来并不简单.嗯.啊哈!一点不难,简单的很!苏珊 想到了什么好主意? 她的推理如下:苏珊:在我家这个角点上写一个 1,因为我 只能从这一点出发.然后在遇刺相隔一个街区的两个角点上 各写一个 1,因为到那里只有一条途径.现在,我在这个角点 上写上 2,因为到达那里可以有两条途径.苏珊发现 2 是 1 加 1 之和,她忽然领悟:若到某一个仅有一条途径,则该角点 上的数字为前一个角点上的数字;若有两条途径,则为前两 个角点上的数字之和. 苏珊:瞧,又有四个角点标上了数字,我马上把其他角点也 标上数字.请你替苏珊把剩下的角点标上数字,并且告诉她 步行到学校共有多少条不同的路线. 苏珊的家 H 1 第1页 1 1 2 1 3 2 5 学校 G 剩下的 5 个点,自上而下,从左至右分别标以 1,4,9,4, 13.最后一点上的 13 表示苏珊去学校共有十三条最短路径. 苏珊所发现的是一种快速而简单的算法,用来计算从她家到 学校的最短路径共有多少条.要是她把这些路径一条一条地 画出来,然后再计数,这样肯定麻烦,还容易出错.如果街 道的数目很多,那么这种方法根本就行不通.你不妨把这十 三条路线都画出来,这样你就更能体会到苏珊的算法是多么 地有效了. 你对这种算法是否已经理解,可以再画一些不同的街道网 络,然后用这种算法来确定从任意点 A 到另一任意点 B 的最 短路线共有多少条.网络可以是矩形网格,三角形网格,平 行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格.也可以用其他方法 (例如组合公式)求解,但这种方法十分复杂,需要很高的技 巧. 第2页 在国际象棋棋盘上,车从棋盘的一角到对角线上另一角的最 短路径共有多少条?就像苏珊给街道交点标上数字一样,把 棋盘上所有格子也都填上数字,于是问题就迎刃而解了.车 只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动,便可以求出共有 多少条最短路径.如图所示: 1 8 36 120 330 792 1716 3432 1 7 28 84 210 462 924 1716 1 第3页 6 21 56 126 252 462 792 1 5 15 35 70 126 210 330 1 4 10 20 35 56 84 第4页 120 1 3 6 10 15 21 28 36 1 2 3 4 5 6 7 8 车 1 1 1 1 第5页 1 1 1 把整个棋盘正确标号,根据所标的数字,一眼就能看出在棋 盘上从一个角出发到任意一角,有多少条最短路线.右上角 的数字是 3432,所以车从一角到对角线的另一角的最短路径 共有 3432 条. 让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二,使其成为 如下图所示的阵列.此三角形上的数字与著名的怕斯卡三角 形(我国叫做杨辉三角形)的数字是相同的,当然,计算街道 路径条数的算法,恰恰就是构造怕斯卡三角形所依据的过程. 这种同构现象使得怕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭 的源泉. 1 11 121 1331 14641 利用怕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数,即求 (a+b)的任意次幂,同样也可以用来解出初等概率论中的许 多问题.请注意,上图中自顶部至底部,从边沿一格来说是 1, 随着向中间移动,数字逐渐增加.也许你见过根据怕斯卡三 第6页 角形所制成的一种装置:在一快倾斜的板上,成百个小球滚 过木钉进入各格的底部.全部小球呈现出一条钟形的二项式 分布曲线,因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二 项式展开的系数. 显然,苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构. 设有一个边长为 3 的立方体,分成 27 个立方体单元,把它 看成棋盘,处于某一个角格上的车可以向三个坐标上的任何 位置作直线移动,试问车到空间对角线的另一个角格有多少 条最短路径? 第7页
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文档贡献者

刘哥

教师

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