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高三复习提纲——《平面向量》_数学_高中教育_教育专区

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高三复习提纲——《平面向量》_数学_高中教育_教育专区。学习必备 欢迎下载 高三复习提纲——《平面向量》 一、常用结论 (一)向量的几何运算 1、 OA ? OB ? BA, OA ? AB ? OB, OA ? OB ? 2OM (M 为 AB 中点


学习必备 欢迎下载 高三复习提纲——《平面向量》 一、常用结论 (一)向量的几何运算 1、 OA ? OB ? BA, OA ? AB ? OB, OA ? OB ? 2OM (M 为 AB 中点) 2、数量积: a ? b ? a b cos? , a 在 b 方向上的投影= a cos? ? a ? b b 3、不等关系: a ? b ? a b ; a ? b ? a ? b ? a ? b (二)平面向量的坐标运算 1、 a ? ? x, y? ? a ? xi ? y j ;2、 OA ? ? x, y? ? A? x, y? ; 3、 A? x1, y1 ?, B? x2, y2 ? ? AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; AB ? ? x2 ? ?x1 2 ? ? y2 ? ?y1 2 ; 4、若 a ? ? x1, y1 ?, b ? ? x2, y2 ?, ? ? R ,则 (1) a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? ;(2) ?a ? ??x1,? y1 ? ;(3) a ? x12 ? y12 ; (4) a ?b ? x1x2 ? y1y2 ; (6) a // b ? x1y2 ? x2 y1 ; (5) cos? ? x1x2 ? y1 y2 ; x12 ? y12 ? x22 ? y22 (7) a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0; 二、对向量夹角的考查( cos? ? a ? b ) ab 1、记号:? = ? a,b ? ; 2、范围:? ??0,? ?,? ? 0 ?同向;? =? ? 反向;? ? ? ? 垂直 ; 2 3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点; O 4、 ? OA,OB ?? ?AOB; ? AO, BO ?? ?AOB; ? OA, AB ?? ? ? ?AOB . ? ? 5、 ? a,b ? 为直角: a ?b ? 0 其中a, b ? 0 ; 6、 ? a,b ? 为锐角: a ? b ? 0 且 a ? ?b;?? ? 0? 7、 ? a,b ? 为钝角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0? [范例解析] 1、已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 和 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小. A a b B 2、已知 a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若 a 和 c 的夹角是锐角,则 λ 的取值范围是( ) A.???-52,+∞??? B.???-∞,-52??? C.{0} D.???-52,0???∪(0,+∞) 3、已知 a=(1,0),b=(0,1),当 k 为整数时,向量 m=ka+b 与 n=a+kb 的夹角能否为 60°? 证明你的结论. 学习必备 欢迎下载 三、对向量的模的考查:1、 a ? 2 a ;2、若 a ? ? x, y? ,则 a ? x2 ? y2 ;3、 a 的含义 [范例解析] ? ? 4、已知 a1, a2 均为单位向量,那么若 a1 ? a2 ? 3,1 ,则 a1 ? _____________. 5、设 e1, e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2, x, y ? R,若 e1,e2 的夹角为 ? 6 , 则 | x | 的最大值等 |b| 于________. 6、在△ABC 中,若对任意 k∈R,有|B→A-kB→C|≥|A→C|,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 7、在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=45°,点 P 的斜坐标定义为“若 OP =x0e1+y0e2(其中 e1, e2 分别为与斜坐标系的 x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点 P 的坐标为(x0,y0)”.若 F1(- 1,0),F2(1,0),且动点 M(x,y)满足| MF1 |=| MF2 |,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A.x- 2y=0 B.x+ 2y=0 C. 2x-y=0 D. 2x+y=0 8、已知向量 OA =(λcos α,λsin α)(λ≠0), OB =(-sin β,cos β),其中 O 为坐标原点. (1)若 α-β=π6且 λ=1,求向量 OA 与 OB 的夹角; (2)若| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围. 四、对向量共线的考查 1、定理:若 a ? 0 ,则 b//a ? 存在唯一实数 ? 使得 b ? ?a ( ? 符号代表方向, ? ? b ) a 2、 A, B,C 共线 ? AB // AC ? OC ? ?OA ? ?OB 且? ? ? ?1?O?直线AB? [范例解析] 9、已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则xx21++yy21的值为( ) 2 A.3 B.-23 5 C.6 D.-56 10、设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值; (3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0, αβ 若 M、P、N 三点共线,求证:m+n=1. 学习必备 欢迎下载 → → 11、如图,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分 点,求证:M、N、C 三点共线. 五、向量与三角形 1、角的定性: AB ? AC ? 0 ? A为直角; AB ? AC ? 0 ? A为锐角; AB ? AC ? 0 ? A为钝角 2、判定形状:锐角(或直角、钝角) ? ,等腰 ? ,等边 ? ,等腰非等边 ? ,… 3、若三角形的三线(中线、高线、内角平分线)中有两线合一,则 ? 必为等腰三角形; 4、若三角形的四心(重心、垂心、内心、外心)中有两心合一,则 ? 必为等边三角形; 5、四心结论: G为重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ; O为外心 ? 2 OA ? 2 OB ? 2 OC ; [范例解析] H为垂心 ? HA? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; I为内心 ? aIA ? bIB ? cIC ? 0 . 12、在△ ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 13、已知 O 为△ABC 所在平面内一点,满足| OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 =| OC |2 ? | AB |2 , 则 O 点是△ABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 14、已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 OP = 1 3 ( 1 2 OA + 1 2 OB + 2OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的( ) A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点(非重心) C. 重心 D. AB 边的中点 六、解决向量问题的常用思路 1、基底法:在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底 a, b ,其余所有向量全部均 可用 a, b 唯一表示,利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。 2、坐标法:根据题意,建系设点,把向量的起点确定下来,利用坐标把几何问题转化为 代数问题进行求解。 3、几何法:利用向量中的几何特征,如夹角、距离(模、投影)、平行、垂直,利用三 角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。 [范例解析] 15、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点, 则 AE ·AF 的最大值为________. → → 16、如图,O、A、B 是平面上的三点,向量OA=a,OB=b,设 P 为线段 AB 的 → 垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若|a|=4,|b|=2,则 p·(a-b)等于( ) A.1 B.3 C.5 D.6 学习必备 欢迎下载 七、平面向量与三角函数的交汇 三角函数与向量的结合,常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合,向量与三 角函数的图像与性质的结合等几个方面. [范例解析] 17、设向量 a、b 的夹角是 x,|a|=12,|b|=3,m 是 b 在 a 方向上的投影,求函数 y=|a|m 的最 大值和最小值. 18、已知向量 (1) a? ? ? b ? a ? ?? ? 及 ? a cos ? ?b 3 2 ; x, s in 3 2 x ??, b? ? ? ?? ? cos x 2 ,? sin x 2 ?? ? ,且 x ? ???0, ? 2 ? ?? ,求 (2)若 f ?x? ? ? a ? ?b ? 2? ? a ? ? b 的最小值是 ? 3 ,求实数 ? 的值. 2 19、设 a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β) ? ?? ? >0,0<? <? < ? 2 ? ?? 是平面上的两个向量, 若向量 a+b 与 a-b 互相垂直. (1)求实数 λ 的值; (2)若 a·b=45,且 tan β=43,求 tan α 的值. 学习必备 欢迎下载 复习提纲——《平面向量》 一、常用结论 (一)向量的几何运算 1、 OA ? OB ? BA, OA ? AB ? OB, OA ? OB ? 2OM (M 为 AB 中点) 2、数量积: a ? b ? a b cos? , a 在 b 方向上的投影= a cos? ? a ? b b 3、不等关系: a ? b ? a b ; a ? b ? a ? b ? a ? b (二)平面向量的坐标运算 1、 a ? ? x, y? ? a ? xi ? y j ;2、 OA ? ? x, y? ? A? x, y? ; 3、 A? x1, y1 ?, B? x2, y2 ? ? AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ; AB ? ? x2 ? ?x1 2 ? ? y2 ? ?y1 2 ; 4、若 a ? ? x1, y1 ?, b ? ? x2, y2 ?, ? ? R ,则 (1) a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? ;(2) ?a ? ??x1,? y1 ? ;(3) a ? x12 ? y12 ; (4) a ?b ? x1x2 ? y1y2 ; (6) a // b ? x1y2 ? x2 y1 ; (5) cos? ? x1x2 ? y1 y2 ; x12 ? y12 ? x22 ? y22 (7) a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0; 二、对向量夹角的考查( cos? ? a ? b ) ab 1、记号:? = ? a,b ? ; 2、范围:? ??0,? ?,? ? 0 ?同向;? =? ? 反向;? ? ? ? 垂直 ; 2 3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点; O 4、 ? OA,OB ?? ?AOB; ? AO, BO ?? ?AOB; ? OA, AB ?? ? ? ?AOB . ? ? 5、 ? a,b ? 为直角: a ?b ? 0 其中a, b ? 0 ; 6、 ? a,b ? 为锐角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0? ; 7、 ? a,b ? 为钝角: a ? b ? 0 且 a ? ?b?? ? 0? [范例解析] A a b B 1、已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 和 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小. [解析] (1)∵a∥b,∴3x-36=0.∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y-0=0.∴y=-3. ∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 设 m,n 的夹角为 θ,则 cosθ=|mm|·|nn| = ?--3?32+×?7-+4??-2×4?×712+12=2-5 252=- 2 2. ∵θ∈[0,π],∴θ=34π,即 m,n 的夹角为34π. 学习必备 欢迎下载 2、已知 a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若 a 和 c 的夹角是锐角,则 λ 的取值范围是( D ) A.???-52,+∞??? B.???-∞,-52??? C.{0} D.???-52,0???∪(0,+∞) [解析] ??a·c=1+λ+3(3+λ)>0 由条件得,c=(1+λ,3+λ),从而???1+1 λ≠3+3 λ ?λ∈???-52,0???∪(0,+∞). 3、已知 a=(1,0),b=(0,1),当 k 为整数时,向量 m=ka+b 与 n=a+kb 的夹角能否为 60°? 证明你的结论. [解析] 假设 m、n 的夹角能为 60°,则 cos60°=|mm|·|nn|,∴m·n=12|m||n|.① 又∵a=(1,0),b=(0,1), ∴|a|=|b|=1,且 a·b=0. ∴m·n=ka2+a·b+k2a·b+kb2=2k,② |m||n|= k2a2+2ka·b+b2· a2+2ka·b+k2b2=k2+1.③ 由①②③,得 2k=12(k2+1).∴k2-4k+1=0. ∵该方程无整数解. ∴m、n 的夹角不能为 60°. 三、对向量的模的考查 1、 a ? 2 a ;2、若 a ? ? x, y? ,则 a ? x2 ? y2 ;3、 a 的含义 [范例解析] ? ? 4、已知 a1, a2 均为单位向量,那么若 a1 ? a2 ? 3,1 ,则 a1 ? _____________. 答案:由已知可得 a1 ? a2 ,故 a1 ? ? ?? ? 3 2 , 1 2 ? ??? . 5、设 e1, e2 为单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2, x, y ? R,若 e1,e2 的夹角为 ? 6 , |x| 则 的最大值等 |b| 于________. 【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论,即 | 2 a| ? 2 a ,很多问题中要求向量的模都是通过求向量 的平方来求解的。此题中利用 | a 2 | ? 2 a 求出 | b 2 | ,然后求出 (| x |)2 的表达式,最后利用函数最值的求法 |b| 即可求出答案 ;即由已知得 到: 2 b ?| b |2 ? (xe1 ? ye2 )2 ?| b |2 ? x2 ? y2 ? 2xy ? 3? 2 | x |2 2 b ? x2 ? x2 y2 ? 3xy ? 1? 1 y2 x2 ? ,设t ? y ?(t2 ? 3y x x 3t ?1) min ? 1 ? x2 的最大值 4 | b |2 为 4,所以答案是 2。 6、在△ABC 中,若对任意 k∈R,有|B→A-kB→C|≥|A→C|,则△ABC 的形状是( B ) 学习必备 欢迎下载 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 7、在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=45°,点 P 的斜坐标定义为“若 OP =x0e1+y0e2(其中 e1, e2 分别为与斜坐标系的 x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点 P 的坐标为(x0,y0)”.若 F1(- 1,0),F2(1,0),且动点 M(x,y)满足| MF1 |=| MF2 |,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A.x- 2y=0 B.x+ 2y=0 C. 2x-y=0 D. 2x+y=0 解析:选 D 依题意, MF1 =(-1-x,-y)=(-1-x)e1-ye2, MF2 =(1-x,-y)=(1-x)e1-ye2,由| MF1 |=| MF2 |,得 MF1 2= MF2 2, ∴[(-1-x)e1-ye2]2=[(1-x)e1-ye2]2,∴4x+4ye1·e2=0. ∵∠xOy=45°,∴e1·e2= 22,故 2x+ 2y=0,即 2x+y=0. 8、已知向量 OA =(λcos α,λsin α)(λ≠0), OB =(-sin β,cos β),其中 O 为坐标原点. (1)若 α-β=π6且 λ=1,求向量 OA 与 OB 的夹角; (2)若| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,求实数 λ 的取值范围. 解:(1)当 λ=1 时, OA =(cos α,sin α), 故| OA |= cos2α+sin2α=1,| OB |= ?-sin β?2+cos2β=1. OA ·OB =cos α·(-sin β)+sin αcos β=sin(α-β)=sin6π=12, 故 cos〈 OA , OB 〉= | OA OA ·OB || OB |=12. 又因为〈 OA , OB 〉∈[0,π],所以〈 OA , OB 〉=π3. (2) AB = OB - OA =(-λcos α-sin β,-λsin α+cos β), 故| AB |≥2| OB |对任意实数 α,β 都成立,即(-λcos α-sin β)2+(-λsin α+cos β)2≥4 对任意实数 α,β 都成立, 整理得 λ2+1+2λsin(β-α)≥4 对任意实数 α,β 都成立. ?λ>0, ?λ<0, 因为-1≤sin(β-α)≤1,所以??λ2+1-2λ≥4 或??λ2+1+2λ≥4, 解得 λ≥3 或 λ≤-3. 所以所求实数 λ 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞). 四、对向量共线的考查 1、定理:若 a ? 0 ,则 b//a ? 存在唯一实数 ? 使得 b ? ?a ( ? 符号代表方向, ? ? b ) a 2、 A, B,C 共线 ? AB // AC ? OC ? ?OA ? ?OB 且? ? ? ?1?O?直线AB? [范例解析] 9、已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则xx21++yy21的值为( ) 2 A.3 B.-23 5 C.6 D.-56 解析:选 B 由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0, 学习必备 欢迎下载 即 3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=-23x2,y1=-23y2,故xx12++yy12=-23. 10、设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值; (3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0, αβ 若 M、P、N 三点共线,求证:m+n=1. 解:(1)证明:∵ AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB , ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ,使得(8a+kb)=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b =0, ∵a 与 b 不共线, ?8 ??k ? ?k ? 2? ? ? 0 0 ? 8 ? 2? ? ?2 ∴ k ? 2? ? ? 4. (3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP ? ? PN , ∴ OP ? OM ? ?ON 1? ? m λn =1+λa+1+λb. ∵a、b 不共线,∴ ???? ? ??? ? ?m 1? ? ? ?n 1? ? , αβ 1 λ ∴m+n=1+λ+1+λ=1. → → 11、如图,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分 点,求证:M、N、C 三点共线. →→→ [解析] 在△ABD 中,BD=AD-AB, → → → 因为AB=a,AD=b,所以BD=b-a. →→ ∵N 点是 BD 的三等分点,∴BN=13BD=13(b-a). → →→→ ∵BC=b,∴CN=BN-BC=13(b-a)-b=-13a-23b. ① → ∵M 为 AB 中点,∴MB=12a, ∴C→M=-M→C=-(M→B+B→C)=-???12a+b???=-12a-b. ② →→ →→ 由①②可得:CM=32CN. 由共线向量定理知:CM∥CN, →→ 又∵CM与CN有公共点 C,∴C、M、N 三点共线. 五、向量与三角形 学习必备 欢迎下载 1、角的定性: AB ? AC ? 0 ? A为直角; AB ? AC ? 0 ? A为锐角; AB ? AC ? 0 ? A为钝角 2、判定形状:锐角(或直角、钝角) ? ,等腰 ? ,等边 ? ,等腰非等边 ? ,… 3、若三角形的三线(中线、高线、内角平分线)中有两线合一,则 ? 必为等腰三角形; 4、若三角形的四心(重心、垂心、内心、外心)中有两心合一,则 ? 必为等边三角形; 5、四心结论: G为重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ; O为外心 ? 2 OA ? 2 OB ? 2 OC ; H为垂心 ? HA? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; I为内心 ? aIA ? bIB ? cIC ? 0 . [范例解析] 12、在△ ABC 中,( BC + BA )·AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2 解析:由 (BC ? BA) AC ? AC , 得AC (BC ? BA ? AC ) ? 0, ∴ AC ⊥ BA ,∴∠A=90°. 即AC (BC ? BA ? CA) ? 0, 答案:C 13、已知 O 为△ABC 所在平面内一点,满足| OA |2 ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 =| OC |2 ? | AB |2 , 则 O 点是△ABC 的( A ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 解:由已知得 | OA |2 ? | OB |2 ?| CA |2 ? | BC |2 ? (OA ? OB) ? (OA ? OB) = (CA ? BC) ? (CA ? BC) ? BA ? (OA ? OB) = (CA ? CB) ? BA ? BA? (OA ? OB ? AC ? BC) = 0 ? BA? 2OC = 0,∴ OC ⊥ BA . 同理 OA ? CB , OB ? AC . 故选 A . 14、已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 OP = 1 3 ( 1 2 OA + 1 2 OB + 2OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的( B ) A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点(非重心) C. 重心 D. AB 边的中点 解析:取 AB 边的中点 M,则 OA ? OB ? 2OM ,由 OP = 1 1 ( OA + 1 OB +2 OC )可得 32 2 OP ? 1 OM ? 2 MC ,∴ MP ? 2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且 3 3 3 点 P 不过重心,故选 B. 六、解决向量问题的常用思路 1、基底法:在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底 a, b ,其余所有向量全部均 可用 a, b 唯一表示,利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。 2、坐标法:根据题意,建系设点,把向量的起点确定下来,利用坐标把几何问题转化为 代数问题进行求解。 3、几何法:利用向量中的几何特征,如夹角、距离(模、投影)、平行、垂直,利用三 学习必备 欢迎下载 角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。 [范例解析] 15、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点, 则 AE ·AF 的最大值为________. 解析:以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则 E???2,12???.设 F(x,y), 则???00≤≤xy≤≤21,, AE ·AF =2x+12y. 令 z=2x+12y,当 z=2x+12y 过点(2,1)时, AE ·AF 取最大值92. 答案:92 → → 16、如图,O、A、B 是平面上的三点,向量OA=a,OB=b,设 P 为线段 AB 的垂直平分线 → 上任意一点,向量OP=p.若|a|=4,|b|=2,则 p·(a-b)等于( ) A.1 B.3 C.5 [答案] D D.6 → → →→ →→→ →→ → [解析] 由图知CP⊥BA,则CP·BA=0,p=OP=OC+CP=12(OA+OB)+CP, 则 p·(a-b)=???12?a+b?+C→P???·(a-b)=12(a+b)·(a-b)+C→P·(a-b)=12(a2-b2)+C→P·B→A=12 (|a|2-|b|2)+0=12(42-22)=6. 七、平面向量与三角函数的交汇 三角函数与向量的结合,常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合,向量与三 角函数的图像与性质的结合等几个方面. [范例解析] 17、设向量 a、b 的夹角是 x,|a|=12,|b|=3,m 是 b 在 a 方向上的投影,求函数 y=|a|m 的最 大值和最小值. [解析] 由题意得 m=|b|cosx=3cosx,∴y=|a|m=(12)3cosx. 由 0≤x≤π,得-3≤3cosx≤3, ∴18≤y≤8.故 ymax=8,ymin=18. 18、已知向量 (1) ? a ? ? b ? a ? ?? ? 及 ? a cos ? ?b 3 2 ; x, sin 3 2 x ??, b? ? ? ?? ? cos x 2 ,? sin x 2 ?? ? ,且 x ? ???0, ? 2 ???, 求 (2)若 f ?x? ? ? a ? ?b ? 2? ? a ? ? b 的最小值是 ? 3 ,求实数 ? 的值. 解析: (1)易求 ? a ? ? b ? cos 2 x , ?? 2 a ? b = 2cosx ; (2) f ?x? ? ? a ? ?b ? 2? ? a ? ?b = cos2x ? 2? ? 2cosx = 2cos2 x ? 4? cosx ?1 学习必备 欢迎下载 = 2?cos x ? ? ?2 ? 2?2 ?1 ? x ? ???0, ? 2 ? ?? 从而 当 ? ? 0 时, f ?x?min ? ?1 与题意矛盾, ? ? 0 不合题意; ?c o sx ??0,1? 当0 ? ? ? 1 时, f ?x?min ? ?2?2 ?1? ? 3 ,?? 2 ? 1 2 ; 当? ? 1 时, f ?x?min ?1? 4? ? ? 3, 2 解得 ? ? 5 8 ,不满足 ? ?1; 综合可得: 实数 ? 的值为 1 . 2 19、设 a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β) ? ?? ? >0,0<? <? < ? 2 ? ?? 是平面上的两个向量, 若向量 a+b 与 a-b 互相垂直. (1)求实数 λ 的值; (2)若 a·b=45,且 tan β=43,求 tan α 的值. 解:(1)由题设,可得(a+b)·(a-b)=0,即|a|2-|b|2=0. 代入 a,b 的坐标,可得 cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0, 所以(λ-1)2sin2α-sin2α=0. 因为 0<α<2π,故 sin2α≠0,所以(λ-1)2-1=0, 解得 λ=2 或 λ=0(舍去,因为 λ>0). 故 λ=2. (2)由(1)及题设条件,知 a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=45. 因为 0<α<β<2π,所以-π2<α-β<0. 所以 sin(α-β)=-35,tan(α-β)=-34. 所以 tan α=tan[(α-β)+β]=1t-an?taαn-?αβ-?+β?ttaannββ=1--???-34+34???43×43=274. 所以 tan α=274.
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