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中考数学-2017届中考数学名师总结笔记:图形与证明(考点论述+典型题规律总结+综合训练,含详解)_中考_初中教育_教育专区

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中考数学-2017届中考数学名师总结笔记:图形与证明(考点论述+典型题规律总结+综合训练,含详解)_中考_初中教育_教育专区。- - 图形与证明 一、考点综述 考点内容: 1. 了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义; 2. 掌握平行线的性质定理和判定定理; 3. 全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全


- - 图形与证明 一、考点综述 考点内容: 1. 了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义; 2. 掌握平行线的性质定理和判定定理; 3. 全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理; 4. 掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线 定理; 5. 掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理; 6. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理; 7. 与圆有关的性质和定理 考纲要求: 1.基本概念、三角形、四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象,要求能进行较严格的推理 证明;题目以 “证明”形式存在; 2.圆中的切线要求会证明; [来源:Zxxk.Com] 4.会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题. 5.会用解直角三角形的知识求解实际问题. 6.能用圆心角、圆周角换算与计算,能求解弧长与扇形面积;会求圆柱与圆锥的表面积;能解决 圆与解直角三角形的结合问题. 7.能用反证法证明简单的文字问题. 考查方式及分值: 本部分的内容多以解答或证明说理的形式出现,中考压轴的题目往往是这部分多种知识的综合,所占 分值比重比较高约占 30%左右。 备考策略: 本部分知识是中考的重点,在复习时必须首先要掌握好各种定理和性质,能熟练记住,再进一步强化 训练,立足于课本,要一题多解、举一反三。 二、例题精析 DE ∥ AC 例 1. 如图 1, 已知点 D 在 △ ABC 的 △BC 边上, 1/9 - - - 交 AB 于 E , DF ∥ AB 交 AC 于 F . (1)求证: AE ? DF ; (2)若 AD 平分 ?BAC ,试判断四边形 AEDF 的形状,并说明理由. 解题思路:本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握. 证明:(1)∵ DE ∥ AC , ∴ ?ADE ? ?DAF ,同理 ?DAE ? ?FDA . ∵ AD ? DA , ∴ △ ADE ≌△DAF ,∴ AE ? DF . (2)若 AD 平分 ?BAC ,四边形 AEDF 是菱形. ∵ DE ∥ AC , DF ∥ AB , ∴四边形 AEDF 是平行四边形, ∵ ?FAD ? ?EAD ,∴ AF ? DF , ∴平行四边形 AEDF 为菱形. 规律总结:三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等,此类题起点低,注重基础知识及基 本技能的考查,考查了同学们最基本的几何推理证明能力. 例 2 .如图 2, AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上一点,过圆心 O 作 OD ? AC , D 为垂足, E 是 BC 上一点, G 是 DE 的中点, OG 的延长 线交 BC 于 F . (1) 图中线段 OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系?写出你的结论, 并给出证明过程; (2)猜想线段 BE,EF,FC 三者之间有怎样的数量关系? 写出你的结论,并给出证明过程. 解题思路:平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种,先通过观察图形可猜想 OD∥BC,再利用圆的 有关概念及性质得证. 解:(1)结论: OD ∥ BC . 证明:∵ AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上一点, ∴ ?ACB ? 90 ,即 BC⊥AC. 又 OD⊥AC,∴OD ∥BC. (2)结论: EF ? BE ? FC . 证明:∵OD⊥AC,∴AD=DC. 2/9 - - - 又 O 为 AB 的中点,∴OD 是△ABC 的中位线. ∴BC=2OD. 在△ODG 与△EFG 中, ∵DG=EG,∠GOD=∠GFE,∠ODG=∠FEG, ∴ △ODG ≌△FEG .∴OD=EF. ∴ BE ? EF ? FC ? BC ? 2OD ? 2 EF . ∴ EF ? BE ? FC . 规律总结:为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解,新课程中的逻辑推理常在探究、猜想 的前提下进行.本题就采用了这种方式.该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联 系. 例 3.如图,已知⊙O 的直径 AB=2,直线 m 与⊙O 相切于点 A,P 为⊙O 上一动点(与点 A、点 B 不重合), PO 的延长线与⊙O 相交于点 C,过点 C 的切线与直线 m 相交于点 D. (1)求证:△APC∽△COD. (2)设 AP=x,OD=y,试用含 x 的代数式表示 y. (3)试探索 x 为何值时,△ACD 是一个等边三角形. 解题思路:运用圆的切线的性质、三角形的相似的判定和性质 解析:(1)∵ PC 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线 ∠PAC=∠OCD= 90°,显然△DOA≌△DOC ∴∠DOA=∠DOC ∴∠APC=∠COD ?△ APC ∽△COD (2)由 △ APC ∽△COD ,得 AP OC ? PC OD 2 x 1 ? ? ,? y ? x 2 y (3)若 △ ACD 是一个等边三角形,则 ?ADC ? 60 ,?ODC ? 30 于是 OD ? 2OC ,可得 y ? 2 ,? x ? 1 故,当 x ? 1 时, △ ACD 是一个等边三角形 规律总结:认真审题,根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。 例 4.如图,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B、D 作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8, 3/9 - - - 设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长; (2)请问点 C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小? 2 2 (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 x ? 4 ? (12 ? x) ? 9 的最小值. 解题思路:代数知识与几何知识结合在一起,在直角三角形中 利用勾股定理,注意运用两点之间线段最短。 2 解析: (1) (8 ? x) ? 25 ? A D E x2 ?1 B C (2)当 A、C、E 三点共线时,AC+CE 的值最小 (3)如下图所示,作 BD=12,过点 B 作 AB⊥BD,过点 D 作 ED⊥BD,使 AB=2,ED=3,连结 AE 交 BD 于点 C.AE 的长即为代数式 x 2 ? 4 ? (12 ? x) 2 ? 9 的最小值. A [来源:学_科_网 Z_X_X_K] F B C D E 过点 A 作 AF∥BD 交 ED 的延长线于点 F,得矩形 ABDF, 则 AB=DF=2,AF=BD=8. 2 2 所以 AE= 12 ? (3 ? 2) =13 2 2 即 x ? 4 ? (12 ? x) ? 9 的最小值为 13. 规律总结:用代数的方法来解决几何问题,是我们常用的方法,在没有给出未知量的情况下,巧妙的设未 知数。 例 5.如图, ?ABM 为直角,点 C 为线段 BA 的中点,点 D 是射线 BM 上的一个动点(不与点 B 重合), 连结 AD ,作 BE ? AD ,垂足为 E ,连结 CE ,过点 E 作 EF ? CE ,交 BD 于 F . (1)求证: BF ? FD ; (2) ? A 在什么范围内变化时,四边形 ACFE 是梯形,并说明理由; (3) ? A 在什么范围内变化时,线段 DE 上存在点 G , A 满足条件 DG ? 1 DA ,并说明理由. 4 E C B F D M 4/9 - - - 解题思路:根据题目的条件,注意角度之间的相等,三角形中位线的定理的运用,梯形的判定的运用。 解析:(1)在 Rt△ AEB 中, AC ? BC ,? CE ? 1 AB , 2 A E C B F G H D M ? CB ? CE ,??CEB ? ?CBE . ?CEF ? ?CBF ? 90 , ??BEF ? ?EBF ,? EF ? BF . ?BEF ? ?FED ? 90 , ?EBD ? ?EDB ? 90 , ??FED ? ?EDF . EF ? FD . ? BF ? FD . (2)由(1) BF ? FD ,而 BC ? CA , ? CF ∥ AD ,即 AE ∥ CF . 若 AC ∥ EF ,则 AC ? EF ,? BC ? BF . ? BA ? BD , ?A ? 45 . ? 当 0 ? ?A ? 45 或 45 ? ?A ? 90 时,四边形 ACFE 为梯形 . (3)作 GH ? BD ,垂足为 H ,则 GH ∥ AB . DG ? 1 1 DA ,? DH ? DB . 4 4 又 F 为 BD 中点,? H 为 DF 的中点. ? GH 为 DF 的中垂线. ??GDF ? ?GFD . 点 G 在 ED h 上,??EFD ≥ ?GFD . ?EFD ? ?FDE ? ?DEF ? 180 , ??GFD ? ?FDE ? ?DEF ≤180 . ?3?EDF ≤ 180 . ??EDF ≤ 60 . 又 ?A ? ?EDF ? 90 , ?30 ≤ ?A ? 90 . 5/9 - - - ? 当 30 ≤ ?A ? 90 时, DE 上存在点 G ,满足条件 DG ? 1 DA . 4 [来源:Z_xx_k.Com] 规律总结:探索在什么条件下结论成立,可以从结论 出发,根据已知,充分利用图形的性质或判定,同时 注意题目中的数量关系。 三、综合训练 一、选择题 1.下列说法中错误的是 A、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 B、四边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2.下列四边形①等腰梯形,②正方形,③矩形,④菱形的对角线一定相等的是( A、①②③ B、①②③④ C、①② D、②③ [来源:学§科§网] ( ) ) 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,下列结论: ①OA=OC;②∠BAD=∠BCD;③AC⊥BD;④∠BAD+∠ABC=180° 中,正确的个数有( A、1 B、2 ) C、3 D、4 A D O C B (第 3 题图) 4.如图.AB 为⊙O 的直 径,AC 交⊙O 于 E 点,BC 交⊙O 于 D 点, CD=BD,∠C=70°.现给出以下四个结论: ①∠A=45°; ②AC=AB: ③ AE ? BE ; ④CE·AB=2BD . 2 [来源:学。科。网] 其中正确结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ O C B 5.如图,已知⊙O 的半径为 1.AB 与⊙O 相切 于点 A,OB 与⊙O 交于点 C, CD⊥OA,垂足为 D,则 cos∠AOB 的值等于 A.OD 二、填空题 1.如图,在口 ABCD 中,∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于 E 点, AB=5,ED=3,则口 ABCD 的周长为 . B.OA C.CD D.AB D A A E D B 2.在菱形 ABCD 中,AC=16,BD=12,则菱形的高是________。 3.菱形的周长为 20cm,一条对角线长为 6cm,则这个菱形的面积是________cm2 C C 6/9 A - O B - - 4. 如图,已知⊙O 的直径 AB=8cm,C 为⊙O 上的一点,∠BAC=30°, 则 BC=_________cm. 5.已知菱形的周长为 8 5 ,面积为 16 ,则这个菱形较短的对角线长为 6.如图,把一个矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,使 OA、OC 分 别落在 x 轴、y 轴上,连结 OB,将纸片 OABC 沿 OB 折叠,使点 A 落在 A’ A' O A x y C B . BC 1 的位置上.若 OB= 5 , ? ,求点 A’的坐标为_______________. OC 2 三、解答题 1.如图,在△ABC 与△ABD 中,BC=BD.设点 E 是 BC 的中点,点 F 是 BD 的中点. (1)请你在图中作出点 E 和点 F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明) (2)连接 AE,AF.若 ∠ABC=∠ABD,请你证明△ABE≌△ABF. A B C D 2.如图,⊙O 的半径 OD 经过弦 AB(不是直径)的中点 C,过 AB 的延长线上一点 P 作⊙O 的切线 PE,E 为切 点,PE∥OD;延长直径 AG 交 PE 于点 H;直线 DG 交 OE 于点 F,交 PE 于点 K. (1)求证:四边形 OCPE 是矩形; (2)求证:HK=HG; (3)若 EF=2,FO=1,求 KE 的长. O K H G F C A D E P B 3.如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,P 是边 AB(含端点)上的动点.过 P 作 BC 的垂线 PR,R 为垂足,∠PRB 的平分线与 AB 相交于点 S,在线段 RS 上存在一点 T,若以线段 PT 为一边作正方形 PTEF,其顶点 E, F 恰好分别在边 BC,AC 上. (1)△ABC 与△SBR 是否相似,说明理由; (2)请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系; E R T B S ( 3)设边 AB=1,当 P 在边 AB(含端点)上运动时, P 请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值. C F A 7/9 - - - 一、选择题 1. D 2. A 3. C 4.C 5.A 二、填空题 1. 26 2. 9.6 3. 24 4. 4cm 5. 4 6. (- 三、解答题 1.解:(1)能看到“分别以 B,C 为圆心,适当长为半径画弧,两弧交于点 M、N, 连接 MN,交 BC 于 E”的痕迹,能看到用同样的方法“作出另一点 F(或以 B 为圆心,BE 为半径画弧交 BD 于点 F)”的痕迹. (2)∵BC=BD,E,F 分别是 BC,BD 的中点, ∴BE=BF,(4 分) ∵AB=AB,∠ABC=∠ABD, ∴△ABE≌△ABF. 2.解:(1)∵AC=BC,AB 不是直径, ∴OD⊥AB,∠PCO=90° ∵PE∥OD,∴∠P=90°, ∵PE 是切线,∴∠PEO=90°, ∴四边形 OCPE 是矩形. (2)∵ OG=OD,∴∠OGD=∠ODG. ∵PE∥OD,∴∠K=∠ODG. ∵∠OGD=∠HGK,∴∠K=∠HGK, ∴HK=HG.(5 分) (3)∵EF=2,OF=1,∴EO=DO=3. ∵PE∥OD,∴∠KEO=∠DOE,∠K=∠ODG. ∴△OFD∽△EFK,(7 分)∴EF∶OF=KE∶OD=2∶1, ∴KE=6. 3.解:(1)∵RS 是直角∠PRB 的平分线,∴∠PRS=∠BRS=45°. E R T S B 3 4 , ) 5 5 在△ABC 与△SBR 中,∠C=∠BRS=45°,∠B 是公共角, P ∴△ABC∽△SBR..(1 分) 8/9 C F A (图 1) - - - (2)线段 TS 的长度与 PA 相等. ∵四边形 PTEF 是正方形, ∴PF=PT,∠SPT+∠FPA =180°-∠TPF=90°, 在 Rt△PFA 中,∠PFA +∠FPA=90°, ∴∠PFA=∠TPS, ∴Rt△PAF≌Rt△TSP,∴PA=TS. 当点 P 运动到使得 T 与 R 重合时, 这时△PFA 与△TSP 都是等腰直角三角形且底边相等,即有 PA=TS. 由以上可知,线段 ST 的长度与 PA 相等 . (3)由题意,RS 是等腰 Rt△PRB 的底边 PB 上的高, ∴PS=BS, ∴BS+PS+PA=1, ∴PS= 设 PA 的长为 x,易知 AF=PS, 则 y=PF =PA +PS ,得 y=x +( 即 y= 2 2 2 2 1 ? PA . 2 1? x 2 ) , 2 5 2 1 1 x ? x ? ,(5 分) 4 2 4 1 1 根据二次函数的性质,当 x= 时,y 有最小值为 . 5 5 如图 2,当点 P 运动使得 T 与 R 重合时,PA=TS 为最大. R (T ) B S 易证等腰 Rt△PAF≌等腰 Rt△PSR≌等腰 Rt△BSR, ∴PA= 1 . 3 C E P 如图 3,当 P 与 A 重合时,得 x=0. ∴x 的取值范围是 0≤x≤ F A B 1 . 3 1 1 1 ∴①当 x 的值由 0 增大到 时,y 的值由 减小到 5 4 5 1 1 1 2 ∴②当 x 的值由 增大到 时,y 的值由 增大到 . 5 3 5 9 1 2 1 ∵ ≤ ≤ ,∴在点 P 的运动过程中, 5 9 4 C 1 1 正方形 PTEF 面积 y 的最小值是 ,y 的最大值是 . 5 4 (图 2) E( R) S (T ) F A (P ) 图 3) 9/9 -
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文档贡献者

吴永强

二级教师

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