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大玩家彩票图片,【高考数学各省复习试卷】湖北省黄冈市蕲春县2019届高三第一次模拟考试 (3)_高考_高中教育_教育专区

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大玩家彩票图片,【高考数学各省复习试卷】湖北省黄冈市蕲春县2019届高三第一次模拟考试 (3)_高考_高中教育_教育专区。湖北省黄冈市蕲春县 2019 届高三第一次模拟考试 数 学 试 卷 ( 四 )( 理 ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求


湖北省黄冈市蕲春县 2019 届高三第一次模拟考试 数 学 试 卷 ( 四 )( 理 ) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ? ? 1.设集合 A ? ?0,?1,?2,?3,4? , B ? x x2 ?12 ,则 A B ? ( ) A. ?4? B.??1, ?2, ?3? C.?0, ?1, ?2, ?3? D.??3, ?2, ?1,0,1, 2,3? 2.设复数 z1 ,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,z1 ?1? i ,则 z1z2 ? () A. ?2 B. 2 C.1? i D.1? i 3.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问 勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内 随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A. 2? 15 B. 3? 20 C.1? 2? 15 D.1? 3? 20 4.等差数列?an? 的前 11 项和 S11 ? 88 ,则 a3 ? a9 ? ( ) A.8 B.16 C.24 D.32 5.已知定义在 R 上的函数 f ?x? 满足 f ?x ? 6? ? f ?x? ,且 y ? f ?x ? 3? 为偶 函数, 若 f ?x? 在 ?0,3? 内单调递减,则下面结论正确的是( ) A. f ??4.5? ? f ?3.5? ? f ?12.5? B. f ?3.5? ? f ??4.5? ? f ?12.5? C. f ?12.5? ? f ?3.5? ? f ??4.5? D. f ?3.5? ? f ?12.5? ? f ??4.5? 6. ?2 ? x??1? 2x?5 展开式中,含 x2 项的系数为( ) A. 30 B. 70 C. 90 D. ?150 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A. ? ? 8 B. 2? ? 8 C. ? ? 8 3 D. 2? ? 8 3 8.若执行下面的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入 的条件是( ) A. k ? 7? B. k ? 6? C. k ? 9? D. k ? 8? 9.要得到函数 f ?x? ? sin ? ?? 2x ? ? 3 ? ?? 的图象,只需将函数 g ?x? ? cos ??? 2x ? ? 3 ? ?? 的 图象( ) A.向左平移 ? 个单位长度 2 C.向左平移 ? 个单位长度 4 B.向右平移 ? 个单位长度 2 D.向右平移 ? 个单位长度 4 10.过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F 且倾斜角为 60? 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,以 AF 、BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M ,N ,则 MN ? () A. 2 3 3 B. 3 C. 4 3 3 D. 2 3 11.已知 a ? 20183 20184 ? ? 1 1 , b ? 20184 20185 ?1 ?1 则 a , b 之间的大小关系是( ) A. a ? b B. a ? b C. a ? b D.无法比较 ? ? ? ? 12.已知集合 P ? x x ? 2n,n?N* , Q ? x x ? 2n ?1,n?N* ,将 P Q 的所有 元素从小到大依次排列构成一个数列 ?an? ,记 Sn 为数列?an? 的前 n 项和,则使得 Sn ?1000 成立的 n 的最大值为( ) A.9 B.32 C.35 D.61 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知 a ? 3 ,b ? 2,若 ?a ? b? ? a ,则 a 与 b 的夹角是_________. ?x ? y ?1? 0 14 . 设 x , y 满足约束条件 ? ? x ? y ?1 ? 0 则 z ? 2x ? 3y 的最小值是 ??x ? 3 _________. 15.已知双曲线 y2 ? x2 m2 ? 1? m ? 0? 的上支交抛物线 y2 ? 4x 于 A ,B 两点, 双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点 C , F 为抛物线的焦 点,且 1 ? 1 ? 5 ,则 m ? _______. FA FB FC 16.如图,图形纸片的圆心为 O ,半径为 6 cm ,该纸片上的正方 形 ABCD 的中心为 O ,E ,F ,G ,H ,为圆 O 上的点,△ABE ,△BCF , △CDG,△ADH 分别以 AB , BC , CD , DA 为底边的等腰三角形,沿 虚线剪开后,分别以 AB ,BC ,CD ,DA 为折痕折起△ABE ,△BCF , △CDG,△ADH ,使得 E , F ,G , H 重合,得到一个四棱锥,当该 四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时,该四棱锥的外接球的体积为 __________. 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算 步骤. 17.(12 分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角 A ,B ,C 所对的边, 已知 acos A ? R ,其中 R 为 △ABC 外接圆的半径, S 为 △ABC 的面积, . a2 ? c2 ? b2 ? 4 3 S 3 (1)求 sinC ; (2)若 a ? b ? 2 ? 3 ,求△ABC 的周长. 18.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?ABC ? 60? ,△PAB 为正三角形,且侧面 PAB ? 底面 ABCD ,E 为线段 AB 的中点, M 在线段 PD上. (1)当 M 是线段 PD的中点时,求证: PB∥平面 ACM ; (2)是否存在点 M ,使二面角 M ? EC ? D 的大小为 60? ,若存在, 求出 PM 的值;若不存在,请说明理由. PD 19.(12 分)中国海军,正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。大玩家彩票图片在 中国海军加快建设的大背景下,国产水面舰艇吨位不断增大、技 术日益现代化,特别是国产航空母舰下水,航母需要大量高素质 航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国 9 省 9 所优质普通高中 进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。2017 年 4 月我省 首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员,有 10000 名初中毕 业生踊跃报名投身国防,经过文化考试、体格测试、政治考核、 心理选拔等过程筛选4笸婕也势蓖计最终招收 50 名学员。大玩家彩票图片培养学校在关注学 员的文化素养同时注重学员的身体素质,要求每月至少参加一次 野营拉练活动(下面简称“活动”),这批海航班学员在 10 月参加 活动的次数统计如图所示: (1)从海航班学员中任选 2 名学员,他们 10 月参加活动次数恰 好相等的概率; (2)从海航班学员中任选 2 名学员,用 X 表示这两学员 10 月参 加活动次数之差绝对值,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 20.(12 分)已知椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1?a ?b ? 0? 过点 ?0,?1? ,离心率 e ? 2. 2 (1)求椭圆的方程; (2)已知点 P?m,0? ,过点 ?1,0? 作斜率为 k ?k ? 0? 直线 l ,与椭圆交于 M , N 两点,若 x 轴平分 ?MPN ,求 m 的值. 21(.12 分)已知函数 f ?x? ? m x ? 1 2 ln x ?1?m? R? 的两个零点为 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? . (1)求实数 m 的取值范围; (2)求证: 1 ? 1 ? 2 . x1 x2 e 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题记分. 22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1 : ? ? ? x y ? ? t t cos? sin ? ?t为参数? , l2 : ? ?? ? ? ?? x y ? ? t t cos ???? sin ???? ? ? ? 4 ? 4 ? ?? ? ?? ?t为参数 ? ,其中 ? ? ? ?? 0, 3? 4 ? ?? ,以原点 O 为极点, x 轴非 负半轴为极轴, 取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ? 0 . (1)写出 l1 , l2 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设 l1 ,l2 分别与曲线 C 交于点 A ,B(非坐标原点),求 AB 的 值. 23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ?x? ? 2x ? 2 ? 5 . (1)解不等式: f ?x? ? x ?1 ; (2)当 m ? ?1时,函数 g ? x? ? f ? x? ? x ? m 的图象与 x 轴围成一个三角 形,求实数 m 的取值范围. 【参考答案】 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给 出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.【答案】C ? ? ? ? 【解析】∵集合 A ? ?0,?1,?2,? 3, 4? ,集合 B ? x x2 ?12 ? x ?2 3 ?x ? 2 3 , ∴ A B ? ?0,?1,?2,?3? ,故选 C. 2.【答案】B 【解析】∵ z1 ,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,∴ z2 ?1? i , ∴ z1z2 ? ?1? i? ? ?1? i? ? 2 ,故选 B. 3.【答案】C 【解析】直角三角形的斜边长为 , 52 ?122 ?13 设内切圆的半径为 r ,则 5? r ?12 ? r ?13 ,解得 r ? 2, ∴内切圆的面积为 ?r2 ? 4? , ∴豆子落在其内切圆外部的概率是 P ?1? 1 4? ? 5 ?12 ?1? 2? 15 ,故选 C. 2 4.【答案】B 【解析】∵等差数列?an? 的前 11 项和 S11 ? 88 ,∴ S11 ? 11?a1 ? 2 a11 ? ? 88 , ∴ , a1 ? a11 ? 16 根据等差数列性质: a3 ? a9 ? a1 ? a11 ?16 ,故选 B. 5.【答案】B 【解析】由 f ?x ? 6? ? f ?x? ,可得T ? 6 , 又 y ? f ?x ? 3? 为偶函数, f ?x? 的图像关于 x ? 3对称, ∴ f ?3.5? ? f ?2.5? , f ??4.5? ? f ?1.5? , f ?12.5? ? f ?0.5? . 又 f ?x? 在 ?0,3? 内单调递减,∴ f ?3.5? ? f ??4.5? ? f ?12.5? .故选 B. 6.【答案】B 【解析】∵ ?1 ? 2x?5 展开式的通项公式为Tr?1 ? C5r ? ?2x?r , ∴ ?2 ? x??1 ? 2x?5 展开式中,含 x2 项的系数为 2 ? C52 ? ?2?2 ? C15 ? 2 ? 70 ,故选 B. 7.【答案】C 【解析】该几何体是由半个圆柱(该圆柱的底面圆半径是 1,高 是 2)与一个四棱锥(该棱柱的底面面积等于 2?2 ? 4,高是 2)拼 接而成,其体积等于 1 ? ??12 ? 2 ? 1 ? 2? 2? 2=? ? 8 ,故选 C. 2 3 3 8.【答案】D 【解析】根据程序框图,运行结果如下: S k 第一次循环 log2 3 3 第二次循环 log2 3? log3 4 4 第三次循环 log2 3? log3 4 ? log4 5 5 第四次循环 log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 6 第五次循环 log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 7 第六次循环 log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? log2 8 ? 3 8 故如果输出 S ? 3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的 条件是 k ? 8.故选 D. 9.【答案】D 【解析】分别把两个函数解析式简化为 f ?x? ? sin ? ?? 2x ? ? 3 ? ?? =sin ??? 2 ??? x ? ? 6 ?? ???? , 函数 g ? x ? ? cos ? ?? 2x ? ? 3 ? ?? ? sin ? ?? 2x ? ? 3 ? ? 2 ? ?? ? sin ???2 ? ?? x ? ? 6 ? ? 4 ?? ???? , 可知只需把函数 g?x? 的图象向右平移 ? 个长度单位,得到函数 4 f ?x? 的图象.故选 D. 10.【答案】C 【解析】设 A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? , ∵ y2 ? 4x 抛物线的焦点为 F ?1,0? ,直线 AB 的倾斜角为 60? ,可得直线 AB 的斜率为 3 , 直线 AB 的方程为 y ? 3 ? x ?1? , ∵ AF , BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M , N , ∴ OM ?1 2 y1 , ON ?1 2 y2 ,∴ MN ?1 2 y1 ? y2 , 将 AB 方程 y ? 3 ? x ?1? 代入 y2 ? 4x , 整理得 3y2 ? 4y ? 4 3 ? 0 , y1 ? 2 3 , y2 ? ? 23 3 , MN ? 1 2 3 ? 2 3 ? 4 3 ,故选 C. 2 33 11.【答案】A 【解析】设 f ? x? ? 2018x ?1,则 a ? f f ? ? 3? 4? , b ? f f ?4? . ?5? ∴1? a ? f ?4? ? f ?3? f ?4? ? 20184 ? 20183 20184 ? 1 ? 2017 ? 20183 20184 ? 1 ? 2017 ? 20184 , 20185 ? 2018 1?b ? f ?5? ? f ?4? ? 20185 ? 20184 ? 2017 ? 20184 , f ?5? 20185 ? 1 20185 ? 1 ∵ 20185 ? 2018 ? 20185 ?1 ,∴1? a ?1? b,即 a ? b .故选 A. 12.【答案】C 【解析】数列?an? 的前 n 项依次为:1,2,3, 22 ,5,7, 23 , . 利用列举法可得:当 n ? 35时,P Q 中的所有元素从小到大依次排 列,构成一个数列?an? , ∴数列?an? 的前 35 项分别为 1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23,25, ,69,2,4,8,16,32,64, ? ? 29?29 ?1? 2 26 ?1 Sn ? 29 ? 2 ?2? 2 ?1 ? 292 ? 27 ? 2 ? 967 ? 1000 , 当 n ? 36时,P Q 中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列 ?an? , ∴数列?an? 的前 36 项分别为 1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23,25, ,71,2,4,8,16,32,64, ? ? 30?30 ?1? 2 26 ?1 Sn ? 30 ? 2 ?2? 2 ?1 ? 900 ? 126 ? 1026 ? 1000 , ∴ n 的最大值 35 .故选 C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】150? 【解析】∵ a ? 3 , b ? 2 ,且 ?a ? b? ? a ,∴ a2 ? a ? b cos a,b ? 0 , 即 3 ? 2 3cos a,b ? 0 ,解得 cos a,b ? ? 3 , 2 ∴向量 a 与 b 的夹角是150? ,故答案为150? . 14.【答案】 ?6 【解析】由 z ? 2x ? 3y 得 y ? 2 x ? z , 33 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC ): 平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 过点 A 时,直线 33 33 y ? 2 x ? z 截距最大, 33 此时 z 最小,由 ? ? ? x x ? ? 3 y ? 1 ? 0 得 ?x ? ? y ? ? 3 4 ,即 A?3, 4? , 代入目标函数 z ? 2x ? 3y ,得 z ? 2?3? 3?4 ? 6 ?12 ? ?6 . ∴目标函数 z ? 2x ? 3y 的最小值是 ?6 .故答案为 ?6 . 15.【答案】1 【解析】设 A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? , C ? x3, y3 ? , 由 ,得 , , , ? ? y 2 ? ? x2 m2 ?1 x2 ? 4m2 x ? m2 ? 0 x1 ? x2 ? 4m2 x1x2 ? m2 ?? y2 ? 4x 由抛物线定义可得 AF ? x1 ?1, BF ? x2 ?1 , FC ? x3 ?1 , 由 ? ? ? y ? mx y2 ? 4x ,得 x3 ? 4 m2 , 1 FA ? 1 FB ? 5 FC , 得 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 5 , x1 ? 1 x2 ? 1 x1x2 ? x1 ? x2 ? 1 x3 ? 1 即 4m2 5m2 ?2 ?1 ? 5 4 m2 ?1 ,结合 m ? 0 解得 m ?1,故答案为 1. 16.【答案】 500 3? cm3 27 【解析】 连接 OE 交 AB 于点 I ,设 E ,F ,G ,H 重合于点 P ,正方形的边长 为 x?x ? 0?, 则 OI ? x , IE ? 6 ? x , 2 2 ∵该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍,∴ 4 ? x 2 ? ? ?? 6 ? x 2 ? ?? ? 2x2 ,解得 x ? 4 , 设该四棱锥的外接球的球心为 Q ,半径为 R , ? ? ? ? 则 OC ? 2 2 , OP ? 16 ? 4 ? 2 3 , R2 ? 2 2 3?R ? 2 2 2 ,解得 R ? 5 , 3 外接球的体积V ? 4 3 ? ? ? ? 5 ?3 3 ? ? ? 500 3? cm3 .故答案为 500 3? cm3 . 27 27 三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算 步骤. 17.【答案】(1) 2 ? 6 ;(2) 3 2 ? 3 ? 6 . 4 2 2 【解析】(1)由正弦定理得 a ? 2Rsin A,∴ 2Rsin Acos A ? R ,∴ sin 2A ?1, 又 0 ? 2A ? 2?,∴ 2A ? ? ,则 A ? ? .S ? 1 acsin B ,a2 ? c2 ? b2 ? 4 3 ? 1 ? acsin B , 2 4 2 32 由余弦定理可得 2accos B ? 2 3 acsin B ,∴ tan B ? 3 , 3 又 0 ? B ? ? ,∴ B ? ? 3 ,∴ sin C ? sin ? A ? B? ? sin ? ?? ? 4 ? ? 3 ? ?? ? 2? 4 6. (2)由正弦定理得 a ? sin A ?? b sin B 2 ,又 a ? b ? 3 2? 3 ,∴ ??a ? ? ??b ? 2, 3 ∴ c ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 6 ,∴ △ABC 的周长 a ? b ? c ? 3 2 ? 3 ? 6 . 24 2 2 2 2 18.【答案】(1)见解析;(2)存在 PM ? 1 . PD 3 【解析】(1)证明:连接 BD交 AC 于 H 点,连接 MH , ∵四边形 ABCD是菱形,∴点 H 为 BD的中点. 又∵ M 为 PD的中点, ∴ MH∥BP .又∵平面 BP ? ACM , MH ? 平面 ACM . ∴ PB∥平面 ACM . (2)∵ ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? , E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB . 又∵ PE ? 平面 ABCD , 以 E 为原点,分别以 EB ,EC ,EP 为 x , y ,z 轴,建立空间直角坐 标系 E ? xyz , ? ? ? ? ? ? 则 E ?0,0,0? , B?1,0,0? , P 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D ?2, 3,0 . 假设棱 PD上存在点 M ,设点 M 坐标为 ? x, y, z? , PM ? ? PD ?0 ? ? ? 1? , ? ? ? ? ? ? 则 x, y, z ? 3 ? ? ?2, 3,? 3 ,∴ M ?2?, 3?, 3?1? ?? , ? ? ? ? ∴ EM ? ?2?, 3?, 3?1? ?? , EC ? 0, 3,0 , 设平面 CEM 的法向量为 n ? ? x, y, z? , 则 ??n ? ? EM ? ?2? x ? ??n ? EC ? 3y ? 0 3? y ? 3 ?1 ? ? ? z ? 0 ,解得 ?? y ? 0 ???2?x ? . 3 ?1? ?? z ? ? 令 z ? 2? ,则 x ? 3 ?1 ? ? ? ,得 n ? 3?1? ??,0,2? . ∵ PE ? 平面 ABCD ,∴平面 ABCD 的法向量 m ? ?0,0,1? , ∴ cos m, n ? n ? m ? 2? ? 2? . n ? m 4?2 ? 3?1? ? ?2 7?2 ? 6? ? 3 ∵二面角 M ? EC ? D 的大小为 60? , ∴ 2? ? 1 ,即 3?2 ? 2? ?1? 0 ,解得 ? ? 1 ,或 ? ? ?1(舍去); 7?2 ? 6? ? 3 2 3 ∴在棱 PD上存在点 M ,当 PM ? 1 时,二面角 M ? EC ? D 的大小为 60? . PD 3 19.【答案】(1) 18 ;(2)见解析. 49 【解析】(1)由频率分布表可看出:50 名海航班学员中参加活 动一次有 10 人,参加活动 2 次有 25 人,参加活动 3 次有 15 人, 据此计算可得 P? A? ? 18 . 49 (2)依题意,随机变量 X 的取值有 0、1、2,求解相应的概率值 可得 从海航班中任选 2 名学员, 记事件 B :“这两人中一人参加 1 次活动,一人参加 2 次活动, 事件 C :“这两人中一人参加 2 次活动,一人参加 3 次活动”, 事件 D :“这两人中一人参加 1 次活动,一人参加 3 次活动”, ∴ P?X ? 0? ? P? A? ? 36 ; P ? X 98 ? 1? ? P ?B? +P ?C ? ? C110C125 ? C125C115 C520 ? 50 , 98 , P? X ? 2? ? P?D? ? C110C115 C520 ? 12 98 ∴随机变量 X 的分布列为: ∴随机变量 X 的期望 EX ? 50 ? 12? 2 ? 37 . 98 98 49 20.【答案】(1) x2 ? y2 ?1 ;(2)2. 2 【解析】(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,过点 ?0,?1? ,离心率 e ? 2 , 2 ∴ b ?1, c ? 2 ,∴由 a2 ? b2 ? c2 ,得 a2 ? 2 , a2 ∴椭圆 C 的标准方程是 x2 ? y2 ?1 . 2 (2)∵过椭圆的右焦点 F 作斜率为 k 直线 l ,∴直线l 的方程是 y ? k ? x ?1? . ? y ? k ? x ?1? ? ? 联立方程组 ? ? ? x2 ? y2 ?1 消去 y ,得 1? 2k2 x2 ? 4k2x ? 2k2 ? 2 ? 0 , ?2 显然 ? ? 0 ,设点 P? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , ∴ x1 ? x2 ? 4k 2 1? 2k2 , x1 ? x2 ? 2k2 ? 2 1? 2k2 , ∵ x 轴平分 ?MPN ,∴ ?MPO ? ?NPO . ∴ , kMP ? kNP ? 0 ∴ x1 y1 ?m ? y2 x2 ? m ? 0, y1 ? x2 ? m? ? y2 ? x1 ? m? ? 0 , ∴ k ? x1 ?1?? x2 ? m? ? k ? x2 ?1?? x1 ? m? ? 0 , ∴ 2k ? x1x2 ? ?k ? km?? x1 ? x2 ? ? 2km ? 0 , ∴ 2k ? 2k2 ? 2 1? 2k2 ??k ? km? 1 4k 2 ? 2k 2 ? 2km ? 0 , ∴ ?4k ? 2km 1? 2k2 ? 0 ,∴ ?4k ? 2km ? 0 , ∵ k ? 0 ,∴ m ? 2 . 21.【答案】(1) ? ?? 0, e 2 ? ?? ;(2)见解析. 【解析】(1) f ??x? ? ? m x2 ? 1 2x ? x ? 2m 2x2 , 当 m ? 0 时,f ?? x? ? 0 ,f ?x? 在 ?0,??? 上单调递增,不可能有两个零点; 当 m ? 0 时,由 f ?? x? ? 0 可解得 x ? 2m ,由 f ?? x? ? 0 可解得 0 ? x ? 2m, ∴ f ?x? 在 ?0,2m? 上单调递减,在 ?2m,??? 上单调递增, ∴ f ? x? ? f ?2m? ? m ? 1 ln 2m ?1 , min 2m 2 要使得 f ? x? 在 ?0,??? 上有两个零点,则 1 ? 1 ln 2m ?1? 0 ,解得 0 ? m ? e , 22 2 则 m 的取值范围为 ? ?? 0, e 2 ? ?? . (2)令 t ? 1 x ,则 f ? x? ? m 1 x ? 1 2 ln ? ?? 1 x ? ?? ?1 ? mt ? 1 2 ln t ?1, 由题意知方程 mt ? 1 lnt ?1 ? 0 有两个根,即方程 m ? lnt ? 2 有两个根, 2 2t 不妨设 t1 ? 1 x1 , t2 ? 1 x2 ,令 h?t? ? ln t ? 2 2t , 则当 t ? ??? 0, 1 e ? ?? 时, h ?t ? 单调递增, t ? ? ?? 1 e , ?? ? ?? 时, h ?t ? 单调递减, 综上可知, t1 ? 1 e ? t2 ? 0 , 要证 1 x1 ? 1 x2 ? 2 e ,即证 t1 ? t2 ? 2 e ,即 t1 ? 2 e ? t2 ? 1 e ,即证 h?t1 ? ? h ? ?? 2 e ? t2 ? ?? , 令 ? ? x? ? h ? x? ? h ??? 2 e ? x ? ?? ,下面证 ? ? x? 对任意的 x ? ? ?? 0, 1 e ? ?? 恒成立, ??? x? ? h?? x? ? h? ??? 2 e ? x ? ?? ? ?1 ? ln 2x2 x ? ?1 ? ln 2 ? ?? 2 e ? ?? 2 e ? x 2 ? x ? ?? ? ?? , ∵ x ? ? ?? 0, 1 e ? ?? ,∴ ?ln x ?1? 0 , x2 ? ? ?? 2 e ? x 2 ? ?? , ∴??x? ? ?1? ln x 2 ? ?? 2 e ? x ?2 ?? ? ?1 ? ln ? ?? 2 e ? x ? ?? 2 ? ?? 2 e ? x ?2 ?? ? ?2 ? ln x ? ?? 2 e ? 2 ? ?? 2 e ? x ?2 ?? x ? ?? , 又∵ x ? ? ?? 0, 1 e ? ?? ,∴ x ? ?? 2 e ? x ? ?? ? ? ? ? ??? x ? 2 e 2 ? x ?2 ? ? ??? ? 1 e2 , ∴ ? ? x ? ? 0 ,则 ? ? x ? 在 ? ?? 0, 1 e ? ?? 单调递增, ∴ ? ? x? ? ? ? ?? 1 e ? ?? ? 0 ,故原不等式成立. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题记分. 22.【答案】(1)见解析;(2) 2 2 . 【解析】(1) l1 , l2 的极坐标方程为?1 ? ? ?? ? R? ,?2 ? ? ? ? 4 ?? ? R? . 曲线 C 的极坐标方程方程为 ? ? 4cos? ? 0 即得 ?2 ? 4? cos? ? 0 , 利用 ?2 ? x2 ? y2 , x ? ? cos? , 得曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2?2 ? y2 ? 4 . (2)∵ ?1 ? 4 cos ? , ?2 ? 4 cos ??? ? ? ? 4 ? ?? , ∴ AB 2 ? ?12 ? ?22 ? 2?1 ? ?2 cos ? 4 ? 16 ??cos2 ? ? ? cos2 ???? ? ?? 4 ?? ? 2 cos? cos ???? ? ? 4 ?? ???? ? 16 ???cos2 ? ? 1 ?cos? 2 ? sin? ?2 ? cos? ?cos? ? sin? ???? ?8 ,∴ AB 的值为 2 2. 23.【答案】(1) ???,?8? ?2, ??? ;(2) ? ?? 3 2 , 4 ? ?? ??1? . 【解析】(1)由题意知,原不等式等价于 ?x ? ?1 ???2x ? 2 ? 5 ? 1 ? x 或 ??1 ??2x ? ? x 2 ? ? 1 5 ? 1 ? x 或 ?x ??2 ?1 x?2 ? 5 ? x ?1 , 解得 x ? ?8或 ? 或 x ? 2 , 综上所述,不等式 f ?x? ? x ?1 的解集为 ???,?8? ?2,??? . (2)当 m ? ?1时,则 g ? x? ? 2x ? 2 ? 5 ? x ?1 ? 3 x ?1 ? 5 , 此时 g ?x? 的图象与 x 轴围成一个三角形,满足题意: ??3x ? m ? 7, x ? ?1 当 m ? ?1时, g ? x? ? 2x ? 2 ?5? x?m ? ? ? x ? m ? 3, ?1? x ? m , ??3x ? m ? 3, x ? m 则函数 g ?x? 在 ???,?1? 上单调递减,在 ??1,??? 上单调递增. 要使函数 g ?x? 的图象与 x 轴围成一个三角形, 则 ??g ? ??g ? ? ?1? ? m ? 4 ? 0 m? ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 3 2 ? m ? 4 ; 综上所述,实数 m 的取值范围为 ? ?? 3 2 , 4 ? ?? ??1? .
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落花无痕

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