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2019年考研数学二考试题完整版_研究生入学考试_高等教育_教育专区

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2019 考研数学二考试真题(完整版) 来源:文都教育 一、选择题 1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求 的. 1.当 x→0 时, x ? tan x与x k 同阶,求 k( A.1 B.2 C.3 D.4 2. y ? x sin x ? 2cos x ? x ? (? ) ? ? ? 3 ? , ? ) ? 的拐点坐标 2 2 ? A. ? ?? 2? , ? ? 2 2? B. ? 0, 2 ? C. ?? , ?2 ? D. ( 3 3 ?,? ?) 2 2 ?? 3.下列反常积分收敛的是 A. B. C. ? ? ? 0 ?? xe? x dx xe? x dx 2 0 arc tan x dx 1 ? x2 ?? x D. ? dx 0 1 ? x2 ?? 0 4.已知微分方程 y?? ? ay? ? by ? ce x 的通解为 y ? (C1 ? C2 x)e ? e ,则 a、b、c 依次为 x x A. 1,0,1 B. 1,0,2 C. 2,1,3 D. 2,1,4 5.已知积分区域 D ? {( x, y ) || x | ? | y |? ? 2 }, I1 ? ?? x 2 ? y 2 d x d y, I 2 ? ?? sin x 2 ? y 2 d x d y, I 3 ? ?? (1 ? cos x 2 ? y 2 ) d x d y ,试比较 I1 , I 2 , I 3 的大 D D D 小 A. I 3 ? I 2 ? I1 B. I1 ? I 2 ? I3 C. I 2 ? I1 ? I 3 D. I 2 ? I 3 ? I1 6.已知 f ( x), g ( x) 二阶导数且在 x=a 处连续,请问 f (x), g (x)相切于 a 且曲率相等是 lim x ?a f ( x) ? g ( x) ? 0 的什么条件? ( x ? a) 2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵,A*是 A 的伴随矩阵,若线性方程 Ax=0 的基础解系中只有 2 个向量,则 A*的秩是( A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵,E 是 3 阶单位矩阵,若 A2 ? A ? 2E. 且 A ? 4 ,则二次型 xT Ax 规范形为 A. y1 ? y2 ? y3 2 2 2 ) B. y1 ? y2 ? y3 2 2 2 C. y1 ? y2 ? y3 2 2 2 2 2 D. ? y1 ? y2 ? y3 2 x 2 二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分. 9. lim x ? 2 x x ?0 ? ? ? . 10.曲线 ? ? x ? t ? sin t 3 在 t ? ? 对应点处切线在 y 轴上的截距为 2 ? y ? 1 ? cos t . 11.设函数 f (u ) 可导, z ? yf ( ?z ?z y2 ) ,则 2 x ? y ? ?x ?y x . . 12.设函数 y ? ln cos x(0 ≤x≤ ) 的弧长为 ? 6 13.已知函数 f ( x) ? x ? x 1 1 sin t 2 dt ,则 ? f ( x)dx ? 0 t . ? 1 ?1 0 0 ? ? ? ?2 1 ?1 1 ? , A 表示 A 中(i,j)元的代数余子式,则 A11 ? A12 ? 14.已知矩阵 A ? ? ? 3 ?2 2 ?1? ij ? ? ?0 0 3 4? 三、解答题:15~23 小题,共 94 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分 10 分) 2x ? ?x , x ? 0 已知 f ( x) ? ? x 求 f '( x) ,并求 f ( x) 的极值. ? ? xe ? 1, x≤0, . 16.(本题满分 10 分) 求不定积分 ? ( x ? 1) ( x 3x ? 6 dx. 2 2 ? x ? 1) 17.(本题满分 10 分) y ? y( x) 是微分方程 y '? xy ? (1)求 y(x): 1 2 x e 满足 y(1) ? e 特解. x2 2 (2)设平面区域 D ? {( x, y)}, D ? 2 ?? x, y ? |1≤x≤2,0≤y≤y( x)? 求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 2 3 4 18.已知平面区域 D 满足 x ≤y,( x ? y ) ≤y , 求 ?? x? y x2 ? y 2 D d x d y. sn 19.n ? N+,Sn 是 f ( x) ? e x sin x,0≤x≤n? 的图像与 x 轴所围图形的面积,求 Sn,并求 lim x ?? ? 2u ? 2u ?u ?u 20.已知函数 u(x,y)满足 2 2 ? 2 2 ? 3 ? 3 ? 0 ,求 a,b 的值,使得在变换 u(x,y)=v(x,y)eax+by ?x ?y ?x ?y 下,上述等式可化为 v(x,y)不含一阶偏导数的等式。 21.已知函数 f ( x, y) 在 ? 0,1? 上具有二阶导数,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1, (1)存在 ? ? (0,1) ,使得 f '(? ) ? 0 : (2)存在? ? (0,1) ,使得 f "(? ) ? ?2. ? 1 0 f ( x)dx ? 1 ,证明: ?1 ? ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ?, 22.已知向量组(Ⅰ) ?1 ? 1 , ? 2 ? 0 , ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 4 4 a ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)?1 = ? 1 ? , ? 2 ? ? 2 ? , ?3 ? ? 3 ? , 若向量组 (Ⅰ)和向量组(Ⅱ) 等价,求 a 的取值,并将 ? 3 , 2 ? ? ? ? a ? 3? ? ?1 ? a ? ? ? a ? 3? ? 用 a1 , a2 , a3 线性表示. ? ?2 ?2 1 ? ?2 1 0 ? ? ? ? x ?2 ? 与 B ? ? 23.已知矩形 A ? 2 ? ? 0 ?1 0 ? 相似, ? ? ? 0 0 ?2 ? ? ?0 0 y ? ? (Ⅰ)求 x,y: (Ⅱ)求可逆矩阵 P 使得 P-1AP=B
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